Calcul de 1/101 en base 55+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 55+101n se regroupent elles en cette série ?

1-55-96-28-25-62-77-94-19-35-6-27-71-67-49-69-58-59-13-8-36-61-22-99-92-10-45-51-78-48-14-63-31-89-47-60-68-3-64-86-84-75-85-29-80-57-4-18-81-11===100-46-5-73-76-39-24-7-82-66-95-74-30-34-52-32-43-42-88-93-65-40-79-2-9-91-56-50-23-53-87-38-70-12-54-41-33-98-37-15-17-26-16-72-21-44-97-83-20-90

Calculons 1/101 en base 55+101n (55, 156, 257, ...) :

1/101 en base 55 = 0,0-29-52-15-13-33-41-51-10-19-3-14-38-36-26-37-31-32-7-4-19-33-11-53-50-5-24-27-42-26-7-34-16-48-25-32-37-1-34-46-45-40-46-15-43-31-2-9-44-5===54-25-2-39-41-21-13-3-44-35-51-40-16-18-28-17-23-22-47-50-35-21-43-1-4-49-30-27-12-28-47-20-38-6-29-22-17-53-20-8-9-14-8-39-11-23-52-45-10-49...

1/101 en base 156 = 0,1-84-148-43-38-95-118-145-29-54-9-41-109-103-75-106-89-91-20-12-55-94-33-152-142-15-69-78-120-74-21-97-47-137-72-92-105-4-98-132-129-115-131-44-123-88-6-27-125-16===154-71-7-112-117-60-37-10-126-101-146-114-46-52-80-49-66-64-135-143-100-61-122-3-13-140-86-77-35-81-134-58-108-18-83-63-50-151-57-23-26-40-24-111-32-67-149-128-30-139...

1/101 en base 257 = 0,2-139-244-71-63-157-195-239-48-89-15-68-180-170-124-175-147-150-33-20-91-155-55-251-234-25-114-129-198-122-35-160-78-226-119-152-173-7-162-218-213-190-216-73-203-145-10-45-206-27===254-117-12-185-193-99-61-17-208-167-241-188-76-86-132-81-109-106-223-236-165-101-201-5-22-231-142-127-58-134-221-96-178-30-137-104-83-249-94-38-43-66-40-183-53-111-246-211-50-229...

Et de manière générale en base 55+101n :

[n][29+55n][52+96n][15+28n][13+25n][33+62n][41+77n][51+94n][10+19n][19+35n][3+6n][14+27n][38+71n][36+67n][26+49n][37+69n][31+58n][32+59n][7+13n][4+8n][19+36n][33+61n][11+22n][53+99n][50+92n][5+10n][24+45n][27+51n][42+78n][26+48n][7+14n][34+63n][16+31n][48+89n][25+47n][32+60n][37+68n][1+3n][34+64n][46+86n][45+84n][40+75n][46+85n][15+29n][43+80n][31+57n][2+4n][9+18n][44+81n][5+11n]===[54+100n][25+46n][2+5n][39+73n][41+76n][21+39n][13+24n][3+7n][44+82n][35+66n][51+95n][40+74n][16+30n][18+34n][28+52n][17+32n][23+43n][22+42n][47+88n][50+93n][35+65n][21+40n][43+79n][1+2n][4+9n][49+91n][30+56n][27+50n][12+23n][28+53n][47+87n][20+38n][38+70n][6+12n][29+54n][22+41n][17+33n][53+98n][20+37n][8+15n][9+17n][14+26n][8+16n][39+72n][11+21n][23+44n][52+97n][45+83n][10+20n][49+90n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 55 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 90+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 90+101n. La série est alors :

1-90-20-83-97-44-21-72-16-26-17-15-37-98-33-41-54-12-70-38-87-53-23-50-56-91-9-2-79-40-65-93-88-42-43-32-52-34-30-74-95-66-82-7-24-39-76-73-5-46===100-11-81-18-4-57-80-29-85-75-84-86-64-3-68-60-47-89-31-63-14-48-78-51-45-10-92-99-22-61-36-8-13-59-58-69-49-67-71-27-6-35-19-94-77-62-25-28-96-55

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 55+101n.

Calculons 1/101 en base : 90, 191, 292, ...(90+101n) :

1/101 en base 90 = 0,0-80-17-73-86-39-18-64-14-23-15-13-32-87-29-36-48-10-62-33-77-47-20-44-49-81-8-1-70-35-57-82-78-37-38-28-46-30-26-65-84-58-73-6-21-34-67-65-4-40===89-9-72-16-3-50-71-25-75-66-74-76-57-2-60-53-41-79-27-56-12-42-69-45-40-8-81-88-19-54-32-7-11-52-51-61-43-59-63-24-5-31-16-83-68-55-22-24-85-49...

1/101 en base 191 = 0,1-170-37-156-183-83-39-136-30-49-32-28-69-185-62-77-102-22-132-71-164-100-43-94-105-172-17-3-149-75-122-175-166-79-81-60-98-64-56-139-179-124-155-13-45-73-143-138-9-86===189-20-153-34-7-107-151-54-160-141-158-162-121-5-128-113-88-168-58-119-26-90-147-96-85-18-173-187-41-115-68-15-24-111-109-130-92-126-134-51-11-66-35-177-145-117-47-52-181-104...

1/101 en base 292 = 0,2-260-57-239-280-127-60-208-46-75-49-43-106-283-95-118-156-34-202-109-251-153-66-144-161-263-26-5-228-115-187-268-254-121-124-92-150-98-86-213-274-190-237-20-69-112-219-211-14-132===289-31-234-52-11-164-231-83-245-216-242-248-185-8-196-173-135-257-89-182-40-138-225-147-130-28-265-286-63-176-104-23-37-170-167-199-141-193-205-78-17-101-54-271-222-179-72-80-277-159...

Et de manière générale en base 90+101n :

[n][80+90n][17+20n][73+83n][86+97n][39+44n][18+21n][64+72n][14+16n][23+26n][15+17n][13+15n][32+37n][87+98n][29+33n][36+41n][48+54n][10+12n][62+70n][33+38n][77+87n][47+53n][20+23n][44+50n][49+56n][81+91n][8+9n][1+2n][70+79n][35+40n][57+65n][82+93n][78+88n][37+42n][38+43n][28+32n][46+52n][30+34n][26+30n][65+74n][84+95n][58+66n][73+82n][6+7n][21+24n][34+39n][67+76n][65+73n][4+5n][40+46n]===[89+100n][9+11n][72+81n][16+18n][3+4n][50+57n][71+80n][25+29n][75+85n][66+75n][74+84n][76+86n][57+64n][2+3n][60+68n][53+60n][41+47n][79+89n][27+31n][56+63n][12+14n][42+48n][69+78n][45+51n][40+45n][8+10n][81+92n][88+99n][19+22n][54+61n][32+36n][7+8n][11+13n][52+59n][51+58n][61+69n][43+49n][59+67n][63+71n][24+27n][5+6n][31+35n][16+19n][83+94n][68+77n][55+62n][22+25n][24+28n][85+96n][49+55n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 90 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 55+101n.

Constatons que 55x90 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101