Pourquoi les périodes de n/101 en base 63+101n se regroupent elles en cette série ?

1-63-30-72-92-39-33-59-81-53-6-75-79-28-47-32-97-51-82-15-36-46-70-67-80-91-77-3-88-90-14-74-16-99-76-41-58-18-23-35-84-40-96-89-52-44-45-7-37-8===100-38-71-29-9-62-68-42-20-48-95-26-22-73-54-69-4-50-19-86-65-55-31-34-21-10-24-98-13-11-87-27-85-2-25-60-43-83-78-66-17-61-5-12-49-57-56-94-64-93

Calculons 1/101 en base 63+101n (63, 164, 265, ...) :

1/101 en base 63 = 0,0-39-18-44-57-24-20-36-50-33-3-46-49-17-29-19-60-31-51-9-22-28-43-41-49-56-48-1-54-56-8-46-9-61-47-25-36-11-14-21-52-24-59-55-32-27-28-4-23-4===62-23-44-18-5-38-42-26-12-29-59-16-13-45-33-43-2-31-11-53-40-34-19-21-13-6-14-61-8-6-54-16-53-1-15-37-26-51-48-41-10-38-3-7-30-35-34-58-39-58...

1/101 en base 164 = 0,1-102-48-116-149-63-53-95-131-86-9-121-128-45-76-51-157-82-133-24-58-74-113-108-129-147-125-4-142-146-22-120-25-160-123-66-94-29-37-56-136-64-155-144-84-71-73-11-60-12===162-61-115-47-14-100-110-68-32-77-154-42-35-118-87-112-6-81-30-139-105-89-50-55-34-16-38-159-21-17-141-43-138-3-40-97-69-134-126-107-27-99-8-19-79-92-90-152-103-151...

1/101 en base 265 = 0,2-165-78-188-241-102-86-154-212-139-15-196-207-73-123-83-254-133-215-39-94-120-183-175-209-238-202-7-230-236-36-194-41-259-199-107-152-47-60-91-220-104-251-233-136-115-118-18-97-20===262-99-186-76-23-162-178-110-52-125-249-68-57-191-141-181-10-131-49-225-170-144-81-89-55-26-62-257-34-28-228-70-223-5-65-157-112-217-204-173-44-160-13-31-128-149-146-246-167-244...

Et de manière générale en base 63+101n :

[n][39+63n][18+30n][44+72n][57+92n][24+39n][20+33n][36+59n][50+81n][33+53n][3+6n][46+75n][49+79n][17+28n][29+47n][19+32n][60+97n][31+51n][51+82n][9+15n][22+36n][28+46n][43+70n][41+67n][49+80n][56+91n][48+77n][1+3n][54+88n][56+90n][8+14n][46+74n][9+16n][61+99n][47+76n][25+41n][36+58n][11+18n][14+23n][21+35n][52+84n][24+40n][59+96n][55+89n][32+52n][27+44n][28+45n][4+7n][23+37n][4+8n]===[62+100n][23+38n][44+71n][18+29n][5+9n][38+62n][42+68n][26+42n][12+20n][29+48n][59+95n][16+26n][13+22n][45+73n][33+54n][43+69n][2+4n][31+50n][11+19n][53+86n][40+65n][34+55n][19+31n][21+34n][13+21n][6+10n][14+24n][61+98n][8+13n][6+11n][54+87n][16+27n][53+85n][1+2n][15+25n][37+60n][26+43n][51+83n][48+78n][41+66n][10+17n][38+61n][3+5n][7+12n][30+49n][35+57n][34+56n][58+94n][39+64n][58+93n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-63-30-72-92-39-33-59-81-53-6-75-79-28-47-32-97-51-82-15-36-46-70-67-80-91-77-3-88-90-14-74-16-99-76-41-58-18-23-35-84-40-96-89-52-44-45-7-37-8===100-38-71-29-9-62-68-42-20-48-95-26-22-73-54-69-4-50-19-86-65-55-31-34-21-10-24-98-13-11-87-27-85-2-25-60-43-83-78-66-17-61-5-12-49-57-56-94-64-93

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 63 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 93+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 93+101n. La série est alors :

1-93-64-94-56-57-49-12-5-61-17-66-78-83-43-60-25-2-85-27-87-11-13-98-24-10-21-34-31-55-65-86-19-50-4-69-54-73-22-26-95-48-20-42-68-62-9-29-71-38===100-8-37-7-45-44-52-89-96-40-84-35-23-18-58-41-76-99-16-74-14-90-88-3-77-91-80-67-70-46-36-15-82-51-97-32-47-28-79-75-6-53-81-59-33-39-92-72-30-63

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 63+101n.

Calculons 1/101 en base : 93, 194, 295, ...(93+101n) :

1/101 en base 93 = 0,0-85-58-86-51-52-45-11-4-56-15-60-71-76-39-55-23-1-78-24-80-10-11-90-22-9-19-31-28-50-59-79-17-46-3-63-49-67-20-23-87-44-18-38-62-57-8-26-65-34===92-7-34-6-41-40-47-81-88-36-77-32-21-16-53-37-69-91-14-68-12-82-81-2-70-83-73-61-64-42-33-13-75-46-89-29-43-25-72-69-5-48-74-54-30-35-84-66-27-58...

1/101 en base 194 = 0,1-178-122-180-107-109-94-23-9-117-32-126-149-159-82-115-48-3-163-51-167-21-24-188-46-19-40-65-59-105-124-165-36-96-7-132-103-140-42-49-182-92-38-80-130-119-17-55-136-72===192-15-71-13-86-84-99-170-184-76-161-67-44-34-111-78-145-190-30-142-26-172-169-5-147-174-153-128-134-88-69-28-157-97-186-61-90-53-151-144-11-101-155-113-63-74-176-138-57-121...

1/101 en base 295 = 0,2-271-186-274-163-166-143-35-14-178-49-192-227-242-125-175-73-5-248-78-254-32-37-286-70-29-61-99-90-160-189-251-55-146-11-201-157-213-64-75-277-140-58-122-198-181-26-84-207-110===292-23-108-20-131-128-151-259-280-116-245-102-67-52-169-119-221-289-46-216-40-262-257-8-224-265-233-195-204-134-105-43-239-148-283-93-137-81-230-219-17-154-236-172-96-113-268-210-87-184...

Et de manière générale en base 93+101n :

[n][85+93n][58+64n][86+94n][51+56n][52+57n][45+49n][11+12n][4+5n][56+61n][15+17n][60+66n][71+78n][76+83n][39+43n][55+60n][23+25n][1+2n][78+85n][24+27n][80+87n][10+11n][11+13n][90+98n][22+24n][9+10n][19+21n][31+34n][28+31n][50+55n][59+65n][79+86n][17+19n][46+50n][3+4n][63+69n][49+54n][67+73n][20+22n][23+26n][87+95n][44+48n][18+20n][38+42n][62+68n][57+62n][8+9n][26+29n][65+71n][34+38n]===[92+100n][7+8n][34+37n][6+7n][41+45n][40+44n][47+52n][81+89n][88+96n][36+40n][77+84n][32+35n][21+23n][16+18n][53+58n][37+41n][69+76n][91+99n][14+16n][68+74n][12+14n][82+90n][81+88n][2+3n][70+77n][83+91n][73+80n][61+67n][64+70n][42+46n][33+36n][13+15n][75+82n][46+51n][89+97n][29+32n][43+47n][25+28n][72+79n][69+75n][5+6n][48+53n][74+81n][54+59n][30+33n][35+39n][84+92n][66+72n][27+30n][58+63n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-93-64-94-56-57-49-12-5-61-17-66-78-83-43-60-25-2-85-27-87-11-13-98-24-10-21-34-31-55-65-86-19-50-4-69-54-73-22-26-95-48-20-42-68-62-9-29-71-38===100-8-37-7-45-44-52-89-96-40-84-35-23-18-58-41-76-99-16-74-14-90-88-3-77-91-80-67-70-46-36-15-82-51-97-32-47-28-79-75-6-53-81-59-33-39-92-72-30-63

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 93 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 63+101n.

Constatons que 63x93 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101