Calcul de 1/101 en base 66+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 66+101n se regroupent elles en cette série ?

1-66-13-50-68-44-76-67-79-63-17-11-19-42-45-41-80-28-30-61-87-86-20-7-58-91-47-72-5-27-65-48-37-18-77-32-92-12-85-55-95-8-23-3-97-39-49-2-31-26===100-35-88-51-33-57-25-34-22-38-84-90-82-59-56-60-21-73-71-40-14-15-81-94-43-10-54-29-96-74-36-53-64-83-24-69-9-89-16-46-6-93-78-98-4-62-52-99-70-75

Calculons 1/101 en base 66+101n (66, 167, 268, ...) :

1/101 en base 66 = 0,0-43-8-32-44-28-49-43-51-41-11-7-12-27-29-26-52-18-19-39-56-56-13-4-37-59-30-47-3-17-42-31-24-11-50-20-60-7-55-35-62-5-15-1-63-25-32-1-20-16===65-22-57-33-21-37-16-22-14-24-54-58-53-38-36-39-13-47-46-26-9-9-52-61-28-6-35-18-62-48-23-34-41-54-15-45-5-58-10-30-3-60-50-64-2-40-33-64-45-49...

1/101 en base 167 = 0,1-109-21-82-112-72-125-110-130-104-28-18-31-69-74-67-132-46-49-100-143-142-33-11-95-150-77-119-8-44-107-79-61-29-127-52-152-19-140-90-157-13-38-4-160-64-81-3-51-42===165-57-145-84-54-94-41-56-36-62-138-148-135-97-92-99-34-120-117-66-23-24-133-155-71-16-89-47-158-122-59-87-105-137-39-114-14-147-26-76-9-153-128-162-6-102-85-163-115-124...

1/101 en base 268 = 0,2-175-34-132-180-116-201-177-209-167-45-29-50-111-119-108-212-74-79-161-230-228-53-18-153-241-124-191-13-71-172-127-98-47-204-84-244-31-225-145-252-21-61-7-257-103-130-5-82-68===265-92-233-135-87-151-66-90-58-100-222-238-217-156-148-159-55-193-188-106-37-39-214-249-114-26-143-76-254-196-95-140-169-220-63-183-23-236-42-122-15-246-206-260-10-164-137-262-185-199...

Et de manière générale en base 66+101n :

[n][43+66n][8+13n][32+50n][44+68n][28+44n][49+76n][43+67n][51+79n][41+63n][11+17n][7+11n][12+19n][27+42n][29+45n][26+41n][52+80n][18+28n][19+30n][39+61n][56+87n][56+86n][13+20n][4+7n][37+58n][59+91n][30+47n][47+72n][3+5n][17+27n][42+65n][31+48n][24+37n][11+18n][50+77n][20+32n][60+92n][7+12n][55+85n][35+55n][62+95n][5+8n][15+23n][1+3n][63+97n][25+39n][32+49n][1+2n][20+31n][16+26n]===[65+100n][22+35n][57+88n][33+51n][21+33n][37+57n][16+25n][22+34n][14+22n][24+38n][54+84n][58+90n][53+82n][38+59n][36+56n][39+60n][13+21n][47+73n][46+71n][26+40n][9+14n][9+15n][52+81n][61+94n][28+43n][6+10n][35+54n][18+29n][62+96n][48+74n][23+36n][34+53n][41+64n][54+83n][15+24n][45+69n][5+9n][58+89n][10+16n][30+46n][3+6n][60+93n][50+78n][64+98n][2+4n][40+62n][33+52n][64+99n][45+70n][49+75n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 66 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 75+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 75+101n. La série est alors :

1-75-70-99-52-62-4-98-78-93-6-46-16-89-9-69-24-83-64-53-36-74-96-29-54-10-43-94-81-15-14-40-71-73-21-60-56-59-82-90-84-38-22-34-25-57-33-51-88-35===100-26-31-2-49-39-97-3-23-8-95-55-85-12-92-32-77-18-37-48-65-27-5-72-47-91-58-7-20-86-87-61-30-28-80-41-45-42-19-11-17-63-79-67-76-44-68-50-13-66

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 66+101n.

Calculons 1/101 en base : 75, 176, 277, ...(75+101n) :

1/101 en base 75 = 0,0-55-51-73-38-46-2-72-57-69-4-34-11-66-6-51-17-61-47-39-26-54-71-21-40-7-31-69-60-11-10-29-52-54-15-44-41-43-60-66-62-28-16-25-18-42-24-37-65-25===74-19-23-1-36-28-72-2-17-5-70-40-63-8-68-23-57-13-27-35-48-20-3-53-34-67-43-5-14-63-64-45-22-20-59-30-33-31-14-8-12-46-58-49-56-32-50-37-9-49...

1/101 en base 176 = 0,1-130-121-172-90-108-6-170-135-162-10-80-27-155-15-120-41-144-111-92-62-128-167-50-94-17-74-163-141-26-24-69-123-127-36-104-97-102-142-156-146-66-38-59-43-99-57-88-153-60===174-45-54-3-85-67-169-5-40-13-165-95-148-20-160-55-134-31-64-83-113-47-8-125-81-158-101-12-34-149-151-106-52-48-139-71-78-73-33-19-29-109-137-116-132-76-118-87-22-115...

1/101 en base 277 = 0,2-205-191-271-142-170-10-268-213-255-16-126-43-244-24-189-65-227-175-145-98-202-263-79-148-27-117-257-222-41-38-109-194-200-57-164-153-161-224-246-230-104-60-93-68-156-90-139-241-95===274-71-85-5-134-106-266-8-63-21-260-150-233-32-252-87-211-49-101-131-178-74-13-197-128-249-159-19-54-235-238-167-82-76-219-112-123-115-52-30-46-172-216-183-208-120-186-137-35-181...

Et de manière générale en base 75+101n :

[n][55+75n][51+70n][73+99n][38+52n][46+62n][2+4n][72+98n][57+78n][69+93n][4+6n][34+46n][11+16n][66+89n][6+9n][51+69n][17+24n][61+83n][47+64n][39+53n][26+36n][54+74n][71+96n][21+29n][40+54n][7+10n][31+43n][69+94n][60+81n][11+15n][10+14n][29+40n][52+71n][54+73n][15+21n][44+60n][41+56n][43+59n][60+82n][66+90n][62+84n][28+38n][16+22n][25+34n][18+25n][42+57n][24+33n][37+51n][65+88n][25+35n]===[74+100n][19+26n][23+31n][1+2n][36+49n][28+39n][72+97n][2+3n][17+23n][5+8n][70+95n][40+55n][63+85n][8+12n][68+92n][23+32n][57+77n][13+18n][27+37n][35+48n][48+65n][20+27n][3+5n][53+72n][34+47n][67+91n][43+58n][5+7n][14+20n][63+86n][64+87n][45+61n][22+30n][20+28n][59+80n][30+41n][33+45n][31+42n][14+19n][8+11n][12+17n][46+63n][58+79n][49+67n][56+76n][32+44n][50+68n][37+50n][9+13n][49+66n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 75 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 66+101n.

Constatons que 66x75 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101