Calcul de 1/101 en base 67+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 67+101n se regroupent elles en cette série ?

1-67-45-86-5-32-23-26-25-59-14-29-24-93-70-44-19-61-47-18-95-2-33-90-71-10-64-46-52-50-17-28-58-48-85-39-88-38-21-94-36-89-4-66-79-41-20-27-92-3===100-34-56-15-96-69-78-75-76-42-87-72-77-8-31-57-82-40-54-83-6-99-68-11-30-91-37-55-49-51-84-73-43-53-16-62-13-63-80-7-65-12-97-35-22-60-81-74-9-98

Calculons 1/101 en base 67+101n (67, 168, 269, ...) :

1/101 en base 67 = 0,0-44-29-57-3-21-15-17-16-39-9-19-15-61-46-29-12-40-31-11-63-1-21-59-47-6-42-30-34-33-11-18-38-31-56-25-58-25-13-62-23-59-2-43-52-27-13-17-61-1===66-22-37-9-63-45-51-49-50-27-57-47-51-5-20-37-54-26-35-55-3-65-45-7-19-60-24-36-32-33-55-48-28-35-10-41-8-41-53-4-43-7-64-23-14-39-53-49-5-65...

1/101 en base 168 = 0,1-111-74-143-8-53-38-43-41-98-23-48-39-154-116-73-31-101-78-29-158-3-54-149-118-16-106-76-86-83-28-46-96-79-141-64-146-63-34-156-59-148-6-109-131-68-33-44-153-4===166-56-93-24-159-114-129-124-126-69-144-119-128-13-51-94-136-66-89-138-9-164-113-18-49-151-61-91-81-84-139-121-71-88-26-103-21-104-133-11-108-19-161-58-36-99-134-123-14-163...

1/101 en base 269 = 0,2-178-119-229-13-85-61-69-66-157-37-77-63-247-186-117-50-162-125-47-253-5-87-239-189-26-170-122-138-133-45-74-154-127-226-103-234-101-55-250-95-237-10-175-210-109-53-71-245-7===266-90-149-39-255-183-207-199-202-111-231-191-205-21-82-151-218-106-143-221-15-263-181-29-79-242-98-146-130-135-223-194-114-141-42-165-34-167-213-18-173-31-258-93-58-159-215-197-23-261...

Et de manière générale en base 67+101n :

[n][44+67n][29+45n][57+86n][3+5n][21+32n][15+23n][17+26n][16+25n][39+59n][9+14n][19+29n][15+24n][61+93n][46+70n][29+44n][12+19n][40+61n][31+47n][11+18n][63+95n][1+2n][21+33n][59+90n][47+71n][6+10n][42+64n][30+46n][34+52n][33+50n][11+17n][18+28n][38+58n][31+48n][56+85n][25+39n][58+88n][25+38n][13+21n][62+94n][23+36n][59+89n][2+4n][43+66n][52+79n][27+41n][13+20n][17+27n][61+92n][1+3n]===[66+100n][22+34n][37+56n][9+15n][63+96n][45+69n][51+78n][49+75n][50+76n][27+42n][57+87n][47+72n][51+77n][5+8n][20+31n][37+57n][54+82n][26+40n][35+54n][55+83n][3+6n][65+99n][45+68n][7+11n][19+30n][60+91n][24+37n][36+55n][32+49n][33+51n][55+84n][48+73n][28+43n][35+53n][10+16n][41+62n][8+13n][41+63n][53+80n][4+7n][43+65n][7+12n][64+97n][23+35n][14+22n][39+60n][53+81n][49+74n][5+9n][65+98n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 67 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 98+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 98+101n. La série est alors :

1-98-9-74-81-60-22-35-97-12-65-7-80-63-13-62-16-53-43-73-84-51-49-55-37-91-30-11-68-99-6-83-54-40-82-57-31-8-77-72-87-42-76-75-78-69-96-15-56-34===100-3-92-27-20-41-79-66-4-89-36-94-21-38-88-39-85-48-58-28-17-50-52-46-64-10-71-90-33-2-95-18-47-61-19-44-70-93-24-29-14-59-25-26-23-32-5-86-45-67

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 67+101n.

Calculons 1/101 en base : 98, 199, 300, ...(98+101n) :

1/101 en base 98 = 0,0-95-8-71-78-58-21-33-94-11-63-6-77-61-12-60-15-51-41-70-81-49-47-53-35-88-29-10-65-96-5-80-52-38-79-55-30-7-74-69-84-40-73-72-75-66-93-14-54-32===97-2-89-26-19-39-76-64-3-86-34-91-20-36-85-37-82-46-56-27-16-48-50-44-62-9-68-87-32-1-92-17-45-59-18-42-67-90-23-28-13-57-24-25-22-31-4-83-43-65...

1/101 en base 199 = 0,1-193-17-145-159-118-43-68-191-23-128-13-157-124-25-122-31-104-84-143-165-100-96-108-72-179-59-21-133-195-11-163-106-78-161-112-61-15-151-141-171-82-149-147-153-135-189-29-110-66===197-5-181-53-39-80-155-130-7-175-70-185-41-74-173-76-167-94-114-55-33-98-102-90-126-19-139-177-65-3-187-35-92-120-37-86-137-183-47-57-27-116-49-51-45-63-9-169-88-132...

1/101 en base 300 = 0,2-291-26-219-240-178-65-103-288-35-193-20-237-187-38-184-47-157-127-216-249-151-145-163-109-270-89-32-201-294-17-246-160-118-243-169-92-23-228-213-258-124-225-222-231-204-285-44-166-100===297-8-273-80-59-121-234-196-11-264-106-279-62-112-261-115-252-142-172-83-50-148-154-136-190-29-210-267-98-5-282-53-139-181-56-130-207-276-71-86-41-175-74-77-68-95-14-255-133-199...

Et de manière générale en base 98+101n :

[n][95+98n][8+9n][71+74n][78+81n][58+60n][21+22n][33+35n][94+97n][11+12n][63+65n][6+7n][77+80n][61+63n][12+13n][60+62n][15+16n][51+53n][41+43n][70+73n][81+84n][49+51n][47+49n][53+55n][35+37n][88+91n][29+30n][10+11n][65+68n][96+99n][5+6n][80+83n][52+54n][38+40n][79+82n][55+57n][30+31n][7+8n][74+77n][69+72n][84+87n][40+42n][73+76n][72+75n][75+78n][66+69n][93+96n][14+15n][54+56n][32+34n]===[97+100n][2+3n][89+92n][26+27n][19+20n][39+41n][76+79n][64+66n][3+4n][86+89n][34+36n][91+94n][20+21n][36+38n][85+88n][37+39n][82+85n][46+48n][56+58n][27+28n][16+17n][48+50n][50+52n][44+46n][62+64n][9+10n][68+71n][87+90n][32+33n][1+2n][92+95n][17+18n][45+47n][59+61n][18+19n][42+44n][67+70n][90+93n][23+24n][28+29n][13+14n][57+59n][24+25n][25+26n][22+23n][31+32n][4+5n][83+86n][43+45n][65+67n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 98 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 67+101n.

Constatons que 67x98 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101