Calcul de 1/101 en base 72+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 72+101n se regroupent elles en cette série ?

1-72-33-53-79-32-82-46-80-3-14-99-58-35-96-44-37-38-9-42-95-73-4-86-31-10-13-27-25-83-17-12-56-93-30-39-81-75-47-51-36-67-77-90-16-41-23-40-52-7===100-29-68-48-22-69-19-55-21-98-87-2-43-66-5-57-64-63-92-59-6-28-97-15-70-91-88-74-76-18-84-89-45-8-71-62-20-26-54-50-65-34-24-11-85-60-78-61-49-94

Calculons 1/101 en base 72+101n (72, 173, 274, ...) :

1/101 en base 72 = 0,0-51-23-37-56-22-58-32-57-2-9-70-41-24-68-31-26-27-6-29-67-52-2-61-22-7-9-19-17-59-12-8-39-66-21-27-57-53-33-36-25-47-54-64-11-29-16-28-37-4===71-20-48-34-15-49-13-39-14-69-62-1-30-47-3-40-45-44-65-42-4-19-69-10-49-64-62-52-54-12-59-63-32-5-50-44-14-18-38-35-46-24-17-7-60-42-55-43-34-67...

1/101 en base 173 = 0,1-123-56-90-135-54-140-78-137-5-23-169-99-59-164-75-63-65-15-71-162-125-6-147-53-17-22-46-42-142-29-20-95-159-51-66-138-128-80-87-61-114-131-154-27-70-39-68-89-11===171-49-116-82-37-118-32-94-35-167-149-3-73-113-8-97-109-107-157-101-10-47-166-25-119-155-150-126-130-30-143-152-77-13-121-106-34-44-92-85-111-58-41-18-145-102-133-104-83-161...

1/101 en base 274 = 0,2-195-89-143-214-86-222-124-217-8-37-268-157-94-260-119-100-103-24-113-257-198-10-233-84-27-35-73-67-225-46-32-151-252-81-105-219-203-127-138-97-181-208-244-43-111-62-108-141-18===271-78-184-130-59-187-51-149-56-265-236-5-116-179-13-154-173-170-249-160-16-75-263-40-189-246-238-200-206-48-227-241-122-21-192-168-54-70-146-135-176-92-65-29-230-162-211-165-132-255...

Et de manière générale en base 72+101n :

[n][51+72n][23+33n][37+53n][56+79n][22+32n][58+82n][32+46n][57+80n][2+3n][9+14n][70+99n][41+58n][24+35n][68+96n][31+44n][26+37n][27+38n][6+9n][29+42n][67+95n][52+73n][2+4n][61+86n][22+31n][7+10n][9+13n][19+27n][17+25n][59+83n][12+17n][8+12n][39+56n][66+93n][21+30n][27+39n][57+81n][53+75n][33+47n][36+51n][25+36n][47+67n][54+77n][64+90n][11+16n][29+41n][16+23n][28+40n][37+52n][4+7n]===[71+100n][20+29n][48+68n][34+48n][15+22n][49+69n][13+19n][39+55n][14+21n][69+98n][62+87n][1+2n][30+43n][47+66n][3+5n][40+57n][45+64n][44+63n][65+92n][42+59n][4+6n][19+28n][69+97n][10+15n][49+70n][64+91n][62+88n][52+74n][54+76n][12+18n][59+84n][63+89n][32+45n][5+8n][50+71n][44+62n][14+20n][18+26n][38+54n][35+50n][46+65n][24+34n][17+24n][7+11n][60+85n][42+60n][55+78n][43+61n][34+49n][67+94n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 72 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 94+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 94+101n. La série est alors :

1-94-49-61-78-60-85-11-24-34-65-50-54-26-20-62-71-8-45-89-84-18-76-74-88-91-70-15-97-28-6-59-92-63-64-57-5-66-43-2-87-98-21-55-19-69-22-48-68-29===100-7-52-40-23-41-16-90-77-67-36-51-47-75-81-39-30-93-56-12-17-83-25-27-13-10-31-86-4-73-95-42-9-38-37-44-96-35-58-99-14-3-80-46-82-32-79-53-33-72

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 72+101n.

Calculons 1/101 en base : 94, 195, 296, ...(94+101n) :

1/101 en base 94 = 0,0-87-45-56-72-55-79-10-22-31-60-46-50-24-18-57-66-7-41-82-78-16-70-68-81-84-65-13-90-26-5-54-85-58-59-53-4-61-40-1-80-91-19-51-17-64-20-44-63-26===93-6-48-37-21-38-14-83-71-62-33-47-43-69-75-36-27-86-52-11-15-77-23-25-12-9-28-80-3-67-88-39-8-35-34-40-89-32-53-92-13-2-74-42-76-29-73-49-30-67...

1/101 en base 195 = 0,1-181-94-117-150-115-164-21-46-65-125-96-104-50-38-119-137-15-86-171-162-34-146-142-169-175-135-28-187-54-11-113-177-121-123-110-9-127-83-3-167-189-40-106-36-133-42-92-131-55===193-13-100-77-44-79-30-173-148-129-69-98-90-144-156-75-57-179-108-23-32-160-48-52-25-19-59-166-7-140-183-81-17-73-71-84-185-67-111-191-27-5-154-88-158-61-152-102-63-139...

1/101 en base 296 = 0,2-275-143-178-228-175-249-32-70-99-190-146-158-76-58-181-208-23-131-260-246-52-222-216-257-266-205-43-284-82-17-172-269-184-187-167-14-193-126-5-254-287-61-161-55-202-64-140-199-84===293-20-152-117-67-120-46-263-225-196-105-149-137-219-237-114-87-272-164-35-49-243-73-79-38-29-90-252-11-213-278-123-26-111-108-128-281-102-169-290-41-8-234-134-240-93-231-155-96-211...

Et de manière générale en base 94+101n :

[n][87+94n][45+49n][56+61n][72+78n][55+60n][79+85n][10+11n][22+24n][31+34n][60+65n][46+50n][50+54n][24+26n][18+20n][57+62n][66+71n][7+8n][41+45n][82+89n][78+84n][16+18n][70+76n][68+74n][81+88n][84+91n][65+70n][13+15n][90+97n][26+28n][5+6n][54+59n][85+92n][58+63n][59+64n][53+57n][4+5n][61+66n][40+43n][1+2n][80+87n][91+98n][19+21n][51+55n][17+19n][64+69n][20+22n][44+48n][63+68n][26+29n]===[93+100n][6+7n][48+52n][37+40n][21+23n][38+41n][14+16n][83+90n][71+77n][62+67n][33+36n][47+51n][43+47n][69+75n][75+81n][36+39n][27+30n][86+93n][52+56n][11+12n][15+17n][77+83n][23+25n][25+27n][12+13n][9+10n][28+31n][80+86n][3+4n][67+73n][88+95n][39+42n][8+9n][35+38n][34+37n][40+44n][89+96n][32+35n][53+58n][92+99n][13+14n][2+3n][74+80n][42+46n][76+82n][29+32n][73+79n][49+53n][30+33n][67+72n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 94 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 72+101n.

Constatons que 72x94 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101