Pourquoi les périodes de n/101 en base 74+101n se regroupent elles en cette série ?

1-74-22-12-80-62-43-51-37-11-6-40-31-72-76-69-56-3-20-66-36-38-85-28-52-10-33-18-19-93-14-26-5-67-9-60-97-7-13-53-84-55-30-99-54-57-77-42-78-15===100-27-79-89-21-39-58-50-64-90-95-61-70-29-25-32-45-98-81-35-65-63-16-73-49-91-68-83-82-8-87-75-96-34-92-41-4-94-88-48-17-46-71-2-47-44-24-59-23-86

Calculons 1/101 en base 74+101n (74, 175, 276, ...) :

1/101 en base 74 = 0,0-54-16-8-58-45-31-37-27-8-4-29-22-52-55-50-41-2-14-48-26-27-62-20-38-7-24-13-13-68-10-19-3-49-6-43-71-5-9-38-61-40-21-72-39-41-56-30-57-10===73-19-57-65-15-28-42-36-46-65-69-44-51-21-18-23-32-71-59-25-47-46-11-53-35-66-49-60-60-5-63-54-70-24-67-30-2-68-64-35-12-33-52-1-34-32-17-43-16-63...

1/101 en base 175 = 0,1-128-38-20-138-107-74-88-64-19-10-69-53-124-131-119-97-5-34-114-62-65-147-48-90-17-57-31-32-161-24-45-8-116-15-103-168-12-22-91-145-95-51-171-93-98-133-72-135-25===173-46-136-154-36-67-100-86-110-155-164-105-121-50-43-55-77-169-140-60-112-109-27-126-84-157-117-143-142-13-150-129-166-58-159-71-6-162-152-83-29-79-123-3-81-76-41-102-39-149...

1/101 en base 276 = 0,2-202-60-32-218-169-117-139-101-30-16-109-84-196-207-188-153-8-54-180-98-103-232-76-142-27-90-49-51-254-38-71-13-183-24-163-265-19-35-144-229-150-81-270-147-155-210-114-213-40===273-73-215-243-57-106-158-136-174-245-259-166-191-79-68-87-122-267-221-95-177-172-43-199-133-248-185-226-224-21-237-204-262-92-251-112-10-256-240-131-46-125-194-5-128-120-65-161-62-235...

Et de manière générale en base 74+101n :

[n][54+74n][16+22n][8+12n][58+80n][45+62n][31+43n][37+51n][27+37n][8+11n][4+6n][29+40n][22+31n][52+72n][55+76n][50+69n][41+56n][2+3n][14+20n][48+66n][26+36n][27+38n][62+85n][20+28n][38+52n][7+10n][24+33n][13+18n][13+19n][68+93n][10+14n][19+26n][3+5n][49+67n][6+9n][43+60n][71+97n][5+7n][9+13n][38+53n][61+84n][40+55n][21+30n][72+99n][39+54n][41+57n][56+77n][30+42n][57+78n][10+15n]===[73+100n][19+27n][57+79n][65+89n][15+21n][28+39n][42+58n][36+50n][46+64n][65+90n][69+95n][44+61n][51+70n][21+29n][18+25n][23+32n][32+45n][71+98n][59+81n][25+35n][47+65n][46+63n][11+16n][53+73n][35+49n][66+91n][49+68n][60+83n][60+82n][5+8n][63+87n][54+75n][70+96n][24+34n][67+92n][30+41n][2+4n][68+94n][64+88n][35+48n][12+17n][33+46n][52+71n][1+2n][34+47n][32+44n][17+24n][43+59n][16+23n][63+86n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-74-22-12-80-62-43-51-37-11-6-40-31-72-76-69-56-3-20-66-36-38-85-28-52-10-33-18-19-93-14-26-5-67-9-60-97-7-13-53-84-55-30-99-54-57-77-42-78-15===100-27-79-89-21-39-58-50-64-90-95-61-70-29-25-32-45-98-81-35-65-63-16-73-49-91-68-83-82-8-87-75-96-34-92-41-4-94-88-48-17-46-71-2-47-44-24-59-23-86

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 86+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 86+101n. La série est alors :

1-86-23-59-24-44-47-2-71-46-17-48-88-94-4-41-92-34-96-75-87-8-82-83-68-91-49-73-16-63-65-35-81-98-45-32-25-29-70-61-95-90-64-50-58-39-21-89-79-27===100-15-78-42-77-57-54-99-30-55-84-53-13-7-97-60-9-67-5-26-14-93-19-18-33-10-52-28-85-38-36-66-20-3-56-69-76-72-31-40-6-11-37-51-43-62-80-12-22-74

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 74+101n.

Calculons 1/101 en base : 86, 187, 288, ...(86+101n) :

1/101 en base 86 = 0,0-73-19-50-20-37-40-1-60-39-14-40-74-80-3-34-78-28-81-63-74-6-69-70-57-77-41-62-13-53-55-29-68-83-38-27-21-24-59-51-80-76-54-42-49-33-17-75-67-22===85-12-66-35-65-48-45-84-25-46-71-45-11-5-82-51-7-57-4-22-11-79-16-15-28-8-44-23-72-32-30-56-17-2-47-58-64-61-26-34-5-9-31-43-36-52-68-10-18-63...

1/101 en base 187 = 0,1-159-42-109-44-81-87-3-131-85-31-88-162-174-7-75-170-62-177-138-161-14-151-153-125-168-90-135-29-116-120-64-149-181-83-59-46-53-129-112-175-166-118-92-107-72-38-164-146-49===185-27-144-77-142-105-99-183-55-101-155-98-24-12-179-111-16-124-9-48-25-172-35-33-61-18-96-51-157-70-66-122-37-5-103-127-140-133-57-74-11-20-68-94-79-114-148-22-40-137...

1/101 en base 288 = 0,2-245-65-168-68-125-134-5-202-131-48-136-250-268-11-116-262-96-273-213-248-22-233-236-193-259-139-208-45-179-185-99-230-279-128-91-71-82-199-173-270-256-182-142-165-111-59-253-225-76===285-42-222-119-219-162-153-282-85-156-239-151-37-19-276-171-25-191-14-74-39-265-54-51-94-28-148-79-242-108-102-188-57-8-159-196-216-205-88-114-17-31-105-145-122-176-228-34-62-211...

Et de manière générale en base 86+101n :

[n][73+86n][19+23n][50+59n][20+24n][37+44n][40+47n][1+2n][60+71n][39+46n][14+17n][40+48n][74+88n][80+94n][3+4n][34+41n][78+92n][28+34n][81+96n][63+75n][74+87n][6+8n][69+82n][70+83n][57+68n][77+91n][41+49n][62+73n][13+16n][53+63n][55+65n][29+35n][68+81n][83+98n][38+45n][27+32n][21+25n][24+29n][59+70n][51+61n][80+95n][76+90n][54+64n][42+50n][49+58n][33+39n][17+21n][75+89n][67+79n][22+27n]===[85+100n][12+15n][66+78n][35+42n][65+77n][48+57n][45+54n][84+99n][25+30n][46+55n][71+84n][45+53n][11+13n][5+7n][82+97n][51+60n][7+9n][57+67n][4+5n][22+26n][11+14n][79+93n][16+19n][15+18n][28+33n][8+10n][44+52n][23+28n][72+85n][32+38n][30+36n][56+66n][17+20n][2+3n][47+56n][58+69n][64+76n][61+72n][26+31n][34+40n][5+6n][9+11n][31+37n][43+51n][36+43n][52+62n][68+80n][10+12n][18+22n][63+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-86-23-59-24-44-47-2-71-46-17-48-88-94-4-41-92-34-96-75-87-8-82-83-68-91-49-73-16-63-65-35-81-98-45-32-25-29-70-61-95-90-64-50-58-39-21-89-79-27===100-15-78-42-77-57-54-99-30-55-84-53-13-7-97-60-9-67-5-26-14-93-19-18-33-10-52-28-85-38-36-66-20-3-56-69-76-72-31-40-6-11-37-51-43-62-80-12-22-74

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 86 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 74+101n.

Constatons que 74x86 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101