Calcul de 1/103 en base 5+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 5+103n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-22-7-35-72-51-49-39-92-48-34-67-26-27-32-57-79-86-18-90-38-87-23-12-60-94-58-84-8-40-97-73-56-74-61-99-83-3-15-75-66-21-2-10-50-44-14-70-41===102-98-78-81-96-68-31-52-54-64-11-55-69-36-77-76-71-46-24-17-85-13-65-16-80-91-43-9-45-19-95-63-6-30-47-29-42-4-20-100-88-28-37-82-101-93-53-59-89-33-62

Calculons 1/103 en base 5+103n (5, 108, 211, ...) :

1/103 en base 5 = 0,001101322142131112340414102424014323244003310022031===443343122302313332104030342020430121200441134422413...

1/103 en base 108 = 0,1-5-26-23-7-36-75-53-51-40-96-50-35-70-27-28-33-59-82-90-18-94-39-91-24-12-62-98-60-88-8-41-101-76-58-77-63-103-87-3-15-78-69-22-2-10-52-46-14-73-42===106-102-81-84-100-71-32-54-56-67-11-57-72-37-80-79-74-48-25-17-89-13-68-16-83-95-45-9-47-19-99-66-6-31-49-30-44-4-20-104-92-29-38-85-105-97-55-61-93-34-65...

1/103 en base 211 = 0,2-10-51-45-14-71-147-104-100-79-188-98-69-137-53-55-65-116-161-176-36-184-77-178-47-24-122-192-118-172-16-81-198-149-114-151-124-202-170-6-30-153-135-43-4-20-102-90-28-143-83===208-200-159-165-196-139-63-106-110-131-22-112-141-73-157-155-145-94-49-34-174-26-133-32-163-186-88-18-92-38-194-129-12-61-96-59-86-8-40-204-180-57-75-167-206-190-108-120-182-67-127...

Et de manière générale en base 5+103n :

[n][5n][1+25n][1+22n][7n][1+35n][3+72n][2+51n][2+49n][1+39n][4+92n][2+48n][1+34n][3+67n][1+26n][1+27n][1+32n][2+57n][3+79n][4+86n][18n][4+90n][1+38n][4+87n][1+23n][12n][2+60n][4+94n][2+58n][4+84n][8n][1+40n][4+97n][3+73n][2+56n][3+74n][2+61n][4+99n][4+83n][3n][15n][3+75n][3+66n][1+21n][2n][10n][2+50n][2+44n][14n][3+70n][1+41n]===[4+102n][4+98n][3+78n][3+81n][4+96n][3+68n][1+31n][2+52n][2+54n][3+64n][11n][2+55n][3+69n][1+36n][3+77n][3+76n][3+71n][2+46n][1+24n][17n][4+85n][13n][3+65n][16n][3+80n][4+91n][2+43n][9n][2+45n][19n][4+95n][3+63n][6n][1+30n][2+47n][1+29n][2+42n][4n][20n][4+100n][4+88n][1+28n][1+37n][3+82n][4+101n][4+93n][2+53n][2+59n][4+89n][1+33n][3+62n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 62+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 62+103n. La série est alors :

1-62-33-89-59-53-93-101-82-37-28-88-100-20-4-42-29-47-30-6-63-95-19-45-9-43-91-80-16-65-13-85-17-24-46-71-76-77-36-69-55-11-64-54-52-31-68-96-81-78-98===102-41-70-14-44-50-10-2-21-66-75-15-3-83-99-61-74-56-73-97-40-8-84-58-94-60-12-23-87-38-90-18-86-79-57-32-27-26-67-34-48-92-39-49-51-72-35-7-22-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+103n.

Calculons 1/103 en base : 62, 165, 268, ...(62+103n) :

1/103 en base 62 = 0,0-37-19-53-35-31-55-60-49-22-16-52-60-12-2-25-17-28-18-3-37-57-11-27-5-25-54-48-9-39-7-51-10-14-27-42-45-46-21-41-33-6-38-32-31-18-40-57-48-46-58===61-24-42-8-26-30-6-1-12-39-45-9-1-49-59-36-44-33-43-58-24-4-50-34-56-36-7-13-52-22-54-10-51-47-34-19-16-15-40-20-28-55-23-29-30-43-21-4-13-15-3...

1/103 en base 165 = 0,1-99-52-142-94-84-148-161-131-59-44-140-160-32-6-67-46-75-48-9-100-152-30-72-14-68-145-128-25-104-20-136-27-38-73-113-121-123-57-110-88-17-102-86-83-49-108-153-129-124-156===163-65-112-22-70-80-16-3-33-105-120-24-4-132-158-97-118-89-116-155-64-12-134-92-150-96-19-36-139-60-144-28-137-126-91-51-43-41-107-54-76-147-62-78-81-115-56-11-35-40-8...

1/103 en base 268 = 0,2-161-85-231-153-137-241-262-213-96-72-228-260-52-10-109-75-122-78-15-163-247-49-117-23-111-236-208-41-169-33-221-44-62-119-184-197-200-93-179-143-28-166-140-135-80-176-249-210-202-254===265-106-182-36-114-130-26-5-54-171-195-39-7-215-257-158-192-145-189-252-104-20-218-150-244-156-31-59-226-98-234-46-223-205-148-83-70-67-174-88-124-239-101-127-132-187-91-18-57-65-13...

Et de manière générale en base 62+103n :

[n][37+62n][19+33n][53+89n][35+59n][31+53n][55+93n][60+101n][49+82n][22+37n][16+28n][52+88n][60+100n][12+20n][2+4n][25+42n][17+29n][28+47n][18+30n][3+6n][37+63n][57+95n][11+19n][27+45n][5+9n][25+43n][54+91n][48+80n][9+16n][39+65n][7+13n][51+85n][10+17n][14+24n][27+46n][42+71n][45+76n][46+77n][21+36n][41+69n][33+55n][6+11n][38+64n][32+54n][31+52n][18+31n][40+68n][57+96n][48+81n][46+78n][58+98n]===[61+102n][24+41n][42+70n][8+14n][26+44n][30+50n][6+10n][1+2n][12+21n][39+66n][45+75n][9+15n][1+3n][49+83n][59+99n][36+61n][44+74n][33+56n][43+73n][58+97n][24+40n][4+8n][50+84n][34+58n][56+94n][36+60n][7+12n][13+23n][52+87n][22+38n][54+90n][10+18n][51+86n][47+79n][34+57n][19+32n][16+27n][15+26n][40+67n][20+34n][28+48n][55+92n][23+39n][29+49n][30+51n][43+72n][21+35n][4+7n][13+22n][15+25n][3+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 62 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+103n.

Constatons que 5x62 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103