Calcul de 1/103 en base 6+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 6+103n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-10-60-51-100-85-98-73-26-53-9-54-15-90-25-47-76-44-58-39-28-65-81-74-32-89-19-11-66-87-7-42-46-70-8-48-82-80-68-99-79-62-63-69-2-12-72-20-17===102-97-67-93-43-52-3-18-5-30-77-50-94-49-88-13-78-56-27-59-45-64-75-38-22-29-71-14-84-92-37-16-96-61-57-33-95-55-21-23-35-4-24-41-40-34-101-91-31-83-86

Calculons 1/103 en base 6+103n (6, 109, 212, ...) :

1/103 en base 6 = 0,002032545413030512423213441510350224024435433400410===553523010142525043132342114045205331531120122155145...

1/103 en base 109 = 0,1-6-38-10-63-53-105-89-103-77-27-56-9-57-15-95-26-49-80-46-61-41-29-68-85-78-33-94-20-11-69-92-7-44-48-74-8-50-86-84-71-104-83-65-66-73-2-12-76-21-17===107-102-70-98-45-55-3-19-5-31-81-52-99-51-93-13-82-59-28-62-47-67-79-40-23-30-75-14-88-97-39-16-101-64-60-34-100-58-22-24-37-4-25-43-42-35-106-96-32-87-91...

1/103 en base 212 = 0,2-12-74-20-123-104-205-174-201-150-53-109-18-111-30-185-51-96-156-90-119-80-57-133-166-152-65-183-39-22-135-179-14-86-94-144-16-98-168-164-139-203-162-127-129-142-4-24-148-41-34===209-199-137-191-88-107-6-37-10-61-158-102-193-100-181-26-160-115-55-121-92-131-154-78-45-59-146-28-172-189-76-32-197-125-117-67-195-113-43-47-72-8-49-84-82-69-207-187-63-170-177...

Et de manière générale en base 6+103n :

[n][6n][2+36n][10n][3+60n][2+51n][5+100n][4+85n][5+98n][4+73n][1+26n][3+53n][9n][3+54n][15n][5+90n][1+25n][2+47n][4+76n][2+44n][3+58n][2+39n][1+28n][3+65n][4+81n][4+74n][1+32n][5+89n][1+19n][11n][3+66n][5+87n][7n][2+42n][2+46n][4+70n][8n][2+48n][4+82n][4+80n][3+68n][5+99n][4+79n][3+62n][3+63n][4+69n][2n][12n][4+72n][1+20n][17n]===[5+102n][5+97n][3+67n][5+93n][2+43n][3+52n][3n][1+18n][5n][1+30n][4+77n][2+50n][5+94n][2+49n][5+88n][13n][4+78n][3+56n][1+27n][3+59n][2+45n][3+64n][4+75n][2+38n][1+22n][1+29n][4+71n][14n][4+84n][5+92n][2+37n][16n][5+96n][3+61n][3+57n][1+33n][5+95n][3+55n][1+21n][1+23n][2+35n][4n][1+24n][2+41n][2+40n][1+34n][5+101n][5+91n][1+31n][4+83n][5+86n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 86+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 86+103n. La série est alors :

1-86-83-31-91-101-34-40-41-24-4-35-23-21-55-95-33-57-61-96-16-37-92-84-14-71-29-22-38-75-64-45-59-27-56-78-13-88-49-94-50-77-30-5-18-3-52-43-93-67-97===102-17-20-72-12-2-69-63-62-79-99-68-80-82-48-8-70-46-42-7-87-66-11-19-89-32-74-81-65-28-39-58-44-76-47-25-90-15-54-9-53-26-73-98-85-100-51-60-10-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+103n.

Calculons 1/103 en base : 86, 189, 292, ...(86+103n) :

1/103 en base 86 = 0,0-71-69-25-75-84-28-33-34-20-3-29-19-17-45-79-27-47-50-80-13-30-76-70-11-59-24-18-31-62-53-37-49-22-46-65-10-73-40-78-41-64-25-4-15-2-43-35-77-55-80===85-14-16-60-10-1-57-52-51-65-82-56-66-68-40-6-58-38-35-5-72-55-9-15-74-26-61-67-54-23-32-48-36-63-39-20-75-12-45-7-44-21-60-81-70-83-42-50-8-30-5...

1/103 en base 189 = 0,1-157-152-56-166-185-62-73-75-44-7-64-42-38-100-174-60-104-111-176-29-67-168-154-25-130-53-40-69-137-117-82-108-49-102-143-23-161-89-172-91-141-55-9-33-5-95-78-170-122-177===187-31-36-132-22-3-126-115-113-144-181-124-146-150-88-14-128-84-77-12-159-121-20-34-163-58-135-148-119-51-71-106-80-139-86-45-165-27-99-16-97-47-133-179-155-183-93-110-18-66-11...

1/103 en base 292 = 0,2-243-235-87-257-286-96-113-116-68-11-99-65-59-155-269-93-161-172-272-45-104-260-238-39-201-82-62-107-212-181-127-167-76-158-221-36-249-138-266-141-218-85-14-51-8-147-121-263-189-274===289-48-56-204-34-5-195-178-175-223-280-192-226-232-136-22-198-130-119-19-246-187-31-53-252-90-209-229-184-79-110-164-124-215-133-70-255-42-153-25-150-73-206-277-240-283-144-170-28-102-17...

Et de manière générale en base 86+103n :

[n][71+86n][69+83n][25+31n][75+91n][84+101n][28+34n][33+40n][34+41n][20+24n][3+4n][29+35n][19+23n][17+21n][45+55n][79+95n][27+33n][47+57n][50+61n][80+96n][13+16n][30+37n][76+92n][70+84n][11+14n][59+71n][24+29n][18+22n][31+38n][62+75n][53+64n][37+45n][49+59n][22+27n][46+56n][65+78n][10+13n][73+88n][40+49n][78+94n][41+50n][64+77n][25+30n][4+5n][15+18n][2+3n][43+52n][35+43n][77+93n][55+67n][80+97n]===[85+102n][14+17n][16+20n][60+72n][10+12n][1+2n][57+69n][52+63n][51+62n][65+79n][82+99n][56+68n][66+80n][68+82n][40+48n][6+8n][58+70n][38+46n][35+42n][5+7n][72+87n][55+66n][9+11n][15+19n][74+89n][26+32n][61+74n][67+81n][54+65n][23+28n][32+39n][48+58n][36+44n][63+76n][39+47n][20+25n][75+90n][12+15n][45+54n][7+9n][44+53n][21+26n][60+73n][81+98n][70+85n][83+100n][42+51n][50+60n][8+10n][30+36n][5+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 86 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+103n.

Constatons que 6x86 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103