Pourquoi les périodes de n/103 en base 11+103n se regroupent elles en cette série ?

1-11-18-95-15-62-64-86-19-3-33-54-79-45-83-89-52-57-9-99-59-31-32-43-61-53-68-27-91-74-93-96-26-80-56-101-81-67-16-73-82-78-34-65-97-37-98-48-13-40-28===102-92-85-8-88-41-39-17-84-100-70-49-24-58-20-14-51-46-94-4-44-72-71-60-42-50-35-76-12-29-10-7-77-23-47-2-22-36-87-30-21-25-69-38-6-66-5-55-90-63-75

Calculons 1/103 en base 11+103n (11, 114, 217, ...) :

1/103 en base 11 = 0,0-1-1-10-1-6-6-9-2-0-3-5-8-4-8-9-5-6-0-10-6-3-3-4-6-5-7-2-9-7-9-10-2-8-5-10-8-7-1-7-8-8-3-6-10-3-10-5-1-4-2===10-9-9-0-9-4-4-1-8-10-7-5-2-6-2-1-5-4-10-0-4-7-7-6-4-5-3-8-1-3-1-0-8-2-5-0-2-3-9-3-2-2-7-4-0-7-0-5-9-6-8...

1/103 en base 114 = 0,1-12-19-105-16-68-70-95-21-3-36-59-87-49-91-98-57-63-9-109-65-34-35-47-67-58-75-29-100-81-102-106-28-88-61-111-89-74-17-80-90-86-37-71-107-40-108-53-14-44-30===112-101-94-8-97-45-43-18-92-110-77-54-26-64-22-15-56-50-104-4-48-79-78-66-46-55-38-84-13-32-11-7-85-25-52-2-24-39-96-33-23-27-76-42-6-73-5-60-99-69-83...

1/103 en base 217 = 0,2-23-37-200-31-130-134-181-40-6-69-113-166-94-174-187-109-120-18-208-124-65-67-90-128-111-143-56-191-155-195-202-54-168-117-212-170-141-33-153-172-164-71-136-204-77-206-101-27-84-58===214-193-179-16-185-86-82-35-176-210-147-103-50-122-42-29-107-96-198-8-92-151-149-126-88-105-73-160-25-61-21-14-162-48-99-4-46-75-183-63-44-52-145-80-12-139-10-115-189-132-158...

Et de manière générale en base 11+103n :

[n][1+11n][1+18n][10+95n][1+15n][6+62n][6+64n][9+86n][2+19n][3n][3+33n][5+54n][8+79n][4+45n][8+83n][9+89n][5+52n][6+57n][9n][10+99n][6+59n][3+31n][3+32n][4+43n][6+61n][5+53n][7+68n][2+27n][9+91n][7+74n][9+93n][10+96n][2+26n][8+80n][5+56n][10+101n][8+81n][7+67n][1+16n][7+73n][8+82n][8+78n][3+34n][6+65n][10+97n][3+37n][10+98n][5+48n][1+13n][4+40n][2+28n]===[10+102n][9+92n][9+85n][8n][9+88n][4+41n][4+39n][1+17n][8+84n][10+100n][7+70n][5+49n][2+24n][6+58n][2+20n][1+14n][5+51n][4+46n][10+94n][4n][4+44n][7+72n][7+71n][6+60n][4+42n][5+50n][3+35n][8+76n][1+12n][3+29n][1+10n][7n][8+77n][2+23n][5+47n][2n][2+22n][3+36n][9+87n][3+30n][2+21n][2+25n][7+69n][4+38n][6n][7+66n][5n][5+55n][9+90n][6+63n][8+75n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-18-95-15-62-64-86-19-3-33-54-79-45-83-89-52-57-9-99-59-31-32-43-61-53-68-27-91-74-93-96-26-80-56-101-81-67-16-73-82-78-34-65-97-37-98-48-13-40-28===102-92-85-8-88-41-39-17-84-100-70-49-24-58-20-14-51-46-94-4-44-72-71-60-42-50-35-76-12-29-10-7-77-23-47-2-22-36-87-30-21-25-69-38-6-66-5-55-90-63-75

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 75+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 75+103n. La série est alors :

1-75-63-90-55-5-66-6-38-69-25-21-30-87-36-22-2-47-23-77-7-10-29-12-76-35-50-42-60-71-72-44-4-94-46-51-14-20-58-24-49-70-100-84-17-39-41-88-8-85-92===102-28-40-13-48-98-37-97-65-34-78-82-73-16-67-81-101-56-80-26-96-93-74-91-27-68-53-61-43-32-31-59-99-9-57-52-89-83-45-79-54-33-3-19-86-64-62-15-95-18-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+103n.

Calculons 1/103 en base : 75, 178, 281, ...(75+103n) :

1/103 en base 75 = 0,0-54-45-65-40-3-48-4-27-50-18-15-21-63-26-16-1-34-16-56-5-7-21-8-55-25-36-30-43-51-52-32-2-68-33-37-10-14-42-17-35-50-72-61-12-28-29-64-5-61-66===74-20-29-9-34-71-26-70-47-24-56-59-53-11-48-58-73-40-58-18-69-67-53-66-19-49-38-44-31-23-22-42-72-6-41-37-64-60-32-57-39-24-2-13-62-46-45-10-69-13-8...

1/103 en base 178 = 0,1-129-108-155-95-8-114-10-65-119-43-36-51-150-62-38-3-81-39-133-12-17-50-20-131-60-86-72-103-122-124-76-6-162-79-88-24-34-100-41-84-120-172-145-29-67-70-152-13-146-158===176-48-69-22-82-169-63-167-112-58-134-141-126-27-115-139-174-96-138-44-165-160-127-157-46-117-91-105-74-55-53-101-171-15-98-89-153-143-77-136-93-57-5-32-148-110-107-25-164-31-19...

1/103 en base 281 = 0,2-204-171-245-150-13-180-16-103-188-68-57-81-237-98-60-5-128-62-210-19-27-79-32-207-95-136-114-163-193-196-120-10-256-125-139-38-54-158-65-133-190-272-229-46-106-111-240-21-231-250===278-76-109-35-130-267-100-264-177-92-212-223-199-43-182-220-275-152-218-70-261-253-201-248-73-185-144-166-117-87-84-160-270-24-155-141-242-226-122-215-147-90-8-51-234-174-169-40-259-49-30...

Et de manière générale en base 75+103n :

[n][54+75n][45+63n][65+90n][40+55n][3+5n][48+66n][4+6n][27+38n][50+69n][18+25n][15+21n][21+30n][63+87n][26+36n][16+22n][1+2n][34+47n][16+23n][56+77n][5+7n][7+10n][21+29n][8+12n][55+76n][25+35n][36+50n][30+42n][43+60n][51+71n][52+72n][32+44n][2+4n][68+94n][33+46n][37+51n][10+14n][14+20n][42+58n][17+24n][35+49n][50+70n][72+100n][61+84n][12+17n][28+39n][29+41n][64+88n][5+8n][61+85n][66+92n]===[74+102n][20+28n][29+40n][9+13n][34+48n][71+98n][26+37n][70+97n][47+65n][24+34n][56+78n][59+82n][53+73n][11+16n][48+67n][58+81n][73+101n][40+56n][58+80n][18+26n][69+96n][67+93n][53+74n][66+91n][19+27n][49+68n][38+53n][44+61n][31+43n][23+32n][22+31n][42+59n][72+99n][6+9n][41+57n][37+52n][64+89n][60+83n][32+45n][57+79n][39+54n][24+33n][2+3n][13+19n][62+86n][46+64n][45+62n][10+15n][69+95n][13+18n][8+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-75-63-90-55-5-66-6-38-69-25-21-30-87-36-22-2-47-23-77-7-10-29-12-76-35-50-42-60-71-72-44-4-94-46-51-14-20-58-24-49-70-100-84-17-39-41-88-8-85-92===102-28-40-13-48-98-37-97-65-34-78-82-73-16-67-81-101-56-80-26-96-93-74-91-27-68-53-61-43-32-31-59-99-9-57-52-89-83-45-79-54-33-3-19-86-64-62-15-95-18-11

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 75 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+103n.

Constatons que 11x75 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103