Pourquoi les périodes de n/103 en base 12+103n se regroupent elles en cette série ?

1-12-41-80-33-87-14-65-59-90-50-85-93-86-2-24-82-57-66-71-28-27-15-77-100-67-83-69-4-48-61-11-29-39-56-54-30-51-97-31-63-35-8-96-19-22-58-78-9-5-60===102-91-62-23-70-16-89-38-44-13-53-18-10-17-101-79-21-46-37-32-75-76-88-26-3-36-20-34-99-55-42-92-74-64-47-49-73-52-6-72-40-68-95-7-84-81-45-25-94-98-43

Calculons 1/103 en base 12+103n (12, 115, 218, ...) :

1/103 en base 12 = 0,0-1-4-9-3-10-1-7-6-10-5-9-10-10-0-2-9-6-7-8-3-3-1-8-11-7-9-8-0-5-7-1-3-4-6-6-3-5-11-3-7-4-0-11-2-2-6-9-1-0-6===11-10-7-2-8-1-10-4-5-1-6-2-1-1-11-9-2-5-4-3-8-8-10-3-0-4-2-3-11-6-4-10-8-7-5-5-8-6-0-8-4-7-11-0-9-9-5-2-10-11-5...

1/103 en base 115 = 0,1-13-45-89-36-97-15-72-65-100-55-94-103-96-2-26-91-63-73-79-31-30-16-85-111-74-92-77-4-53-68-12-32-43-62-60-33-56-108-34-70-39-8-107-21-24-64-87-10-5-66===113-101-69-25-78-17-99-42-49-14-59-20-11-18-112-88-23-51-41-35-83-84-98-29-3-40-22-37-110-61-46-102-82-71-52-54-81-58-6-80-44-75-106-7-93-90-50-27-104-109-48...

1/103 en base 218 = 0,2-25-86-169-69-184-29-137-124-190-105-179-196-182-4-50-173-120-139-150-59-57-31-162-211-141-175-146-8-101-129-23-61-82-118-114-63-107-205-65-133-74-16-203-40-46-122-165-19-10-126===215-192-131-48-148-33-188-80-93-27-112-38-21-35-213-167-44-97-78-67-158-160-186-55-6-76-42-71-209-116-88-194-156-135-99-103-154-110-12-152-84-143-201-14-177-171-95-52-198-207-91...

Et de manière générale en base 12+103n :

[n][1+12n][4+41n][9+80n][3+33n][10+87n][1+14n][7+65n][6+59n][10+90n][5+50n][9+85n][10+93n][10+86n][2n][2+24n][9+82n][6+57n][7+66n][8+71n][3+28n][3+27n][1+15n][8+77n][11+100n][7+67n][9+83n][8+69n][4n][5+48n][7+61n][1+11n][3+29n][4+39n][6+56n][6+54n][3+30n][5+51n][11+97n][3+31n][7+63n][4+35n][8n][11+96n][2+19n][2+22n][6+58n][9+78n][1+9n][5n][6+60n]===[11+102n][10+91n][7+62n][2+23n][8+70n][1+16n][10+89n][4+38n][5+44n][1+13n][6+53n][2+18n][1+10n][1+17n][11+101n][9+79n][2+21n][5+46n][4+37n][3+32n][8+75n][8+76n][10+88n][3+26n][3n][4+36n][2+20n][3+34n][11+99n][6+55n][4+42n][10+92n][8+74n][7+64n][5+47n][5+49n][8+73n][6+52n][6n][8+72n][4+40n][7+68n][11+95n][7n][9+84n][9+81n][5+45n][2+25n][10+94n][11+98n][5+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-41-80-33-87-14-65-59-90-50-85-93-86-2-24-82-57-66-71-28-27-15-77-100-67-83-69-4-48-61-11-29-39-56-54-30-51-97-31-63-35-8-96-19-22-58-78-9-5-60===102-91-62-23-70-16-89-38-44-13-53-18-10-17-101-79-21-46-37-32-75-76-88-26-3-36-20-34-99-55-42-92-74-64-47-49-73-52-6-72-40-68-95-7-84-81-45-25-94-98-43

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 43+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 43+103n. La série est alors :

1-43-98-94-25-45-81-84-7-95-68-40-72-6-52-73-49-47-64-74-92-42-55-99-34-20-36-3-26-88-76-75-32-37-46-21-79-101-17-10-18-53-13-44-38-89-16-70-23-62-91===102-60-5-9-78-58-22-19-96-8-35-63-31-97-51-30-54-56-39-29-11-61-48-4-69-83-67-100-77-15-27-28-71-66-57-82-24-2-86-93-85-50-90-59-65-14-87-33-80-41-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+103n.

Calculons 1/103 en base : 43, 146, 249, ...(43+103n) :

1/103 en base 43 = 0,0-17-40-39-10-18-33-35-2-39-28-16-30-2-21-30-20-19-26-30-38-17-22-41-14-8-15-1-10-36-31-31-13-15-19-8-32-42-7-4-7-22-5-18-15-37-6-29-9-25-37===42-25-2-3-32-24-9-7-40-3-14-26-12-40-21-12-22-23-16-12-4-25-20-1-28-34-27-41-32-6-11-11-29-27-23-34-10-0-35-38-35-20-37-24-27-5-36-13-33-17-5...

1/103 en base 146 = 0,1-60-138-133-35-63-114-119-9-134-96-56-102-8-73-103-69-66-90-104-130-59-77-140-48-28-51-4-36-124-107-106-45-52-65-29-111-143-24-14-25-75-18-62-53-126-22-99-32-87-128===144-85-7-12-110-82-31-26-136-11-49-89-43-137-72-42-76-79-55-41-15-86-68-5-97-117-94-141-109-21-38-39-100-93-80-116-34-2-121-131-120-70-127-83-92-19-123-46-113-58-17...

1/103 en base 249 = 0,2-103-236-227-60-108-195-203-16-229-164-96-174-14-125-176-118-113-154-178-222-101-132-239-82-48-87-7-62-212-183-181-77-89-111-50-190-244-41-24-43-128-31-106-91-215-38-169-55-149-219===246-145-12-21-188-140-53-45-232-19-84-152-74-234-123-72-130-135-94-70-26-147-116-9-166-200-161-241-186-36-65-67-171-159-137-198-58-4-207-224-205-120-217-142-157-33-210-79-193-99-29...

Et de manière générale en base 43+103n :

[n][17+43n][40+98n][39+94n][10+25n][18+45n][33+81n][35+84n][2+7n][39+95n][28+68n][16+40n][30+72n][2+6n][21+52n][30+73n][20+49n][19+47n][26+64n][30+74n][38+92n][17+42n][22+55n][41+99n][14+34n][8+20n][15+36n][1+3n][10+26n][36+88n][31+76n][31+75n][13+32n][15+37n][19+46n][8+21n][32+79n][42+101n][7+17n][4+10n][7+18n][22+53n][5+13n][18+44n][15+38n][37+89n][6+16n][29+70n][9+23n][25+62n][37+91n]===[42+102n][25+60n][2+5n][3+9n][32+78n][24+58n][9+22n][7+19n][40+96n][3+8n][14+35n][26+63n][12+31n][40+97n][21+51n][12+30n][22+54n][23+56n][16+39n][12+29n][4+11n][25+61n][20+48n][1+4n][28+69n][34+83n][27+67n][41+100n][32+77n][6+15n][11+27n][11+28n][29+71n][27+66n][23+57n][34+82n][10+24n][2n][35+86n][38+93n][35+85n][20+50n][37+90n][24+59n][27+65n][5+14n][36+87n][13+33n][33+80n][17+41n][5+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-43-98-94-25-45-81-84-7-95-68-40-72-6-52-73-49-47-64-74-92-42-55-99-34-20-36-3-26-88-76-75-32-37-46-21-79-101-17-10-18-53-13-44-38-89-16-70-23-62-91===102-60-5-9-78-58-22-19-96-8-35-63-31-97-51-30-54-56-39-29-11-61-48-4-69-83-67-100-77-15-27-28-71-66-57-82-24-2-86-93-85-50-90-59-65-14-87-33-80-41-12

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+103n.

Constatons que 12x43 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103