Pourquoi les périodes de n/103 en base 20+103n se regroupent elles en cette série ?

1-20-91-69-41-99-23-48-33-42-16-11-14-74-38-39-59-47-13-54-50-73-18-51-93-6-17-31-2-40-79-35-82-95-46-96-66-84-32-22-28-45-76-78-15-94-26-5-100-43-36===102-83-12-34-62-4-80-55-70-61-87-92-89-29-65-64-44-56-90-49-53-30-85-52-10-97-86-72-101-63-24-68-21-8-57-7-37-19-71-81-75-58-27-25-88-9-77-98-3-60-67

Calculons 1/103 en base 20+103n (20, 123, 226, ...) :

1/103 en base 20 = 0,0-3-17-13-7-19-4-9-6-8-3-2-2-14-7-7-11-9-2-10-9-14-3-9-18-1-3-6-0-7-15-6-15-18-8-18-12-16-6-4-5-8-14-15-2-18-5-0-19-8-6===19-16-2-6-12-0-15-10-13-11-16-17-17-5-12-12-8-10-17-9-10-5-16-10-1-18-16-13-19-12-4-13-4-1-11-1-7-3-13-15-14-11-5-4-17-1-14-19-0-11-13...

1/103 en base 123 = 0,1-23-108-82-48-118-27-57-39-50-19-13-16-88-45-46-70-56-15-64-59-87-21-60-111-7-20-37-2-47-94-41-97-113-54-114-78-100-38-26-33-53-90-93-17-112-31-5-119-51-42===121-99-14-40-74-4-95-65-83-72-103-109-106-34-77-76-52-66-107-58-63-35-101-62-11-115-102-85-120-75-28-81-25-9-68-8-44-22-84-96-89-69-32-29-105-10-91-117-3-71-80...

1/103 en base 226 = 0,2-43-199-151-89-217-50-105-72-92-35-24-30-162-83-85-129-103-28-118-109-160-39-111-204-13-37-68-4-87-173-76-179-208-100-210-144-184-70-48-61-98-166-171-32-206-57-10-219-94-78===223-182-26-74-136-8-175-120-153-133-190-201-195-63-142-140-96-122-197-107-116-65-186-114-21-212-188-157-221-138-52-149-46-17-125-15-81-41-155-177-164-127-59-54-193-19-168-215-6-131-147...

Et de manière générale en base 20+103n :

[n][3+20n][17+91n][13+69n][7+41n][19+99n][4+23n][9+48n][6+33n][8+42n][3+16n][2+11n][2+14n][14+74n][7+38n][7+39n][11+59n][9+47n][2+13n][10+54n][9+50n][14+73n][3+18n][9+51n][18+93n][1+6n][3+17n][6+31n][2n][7+40n][15+79n][6+35n][15+82n][18+95n][8+46n][18+96n][12+66n][16+84n][6+32n][4+22n][5+28n][8+45n][14+76n][15+78n][2+15n][18+94n][5+26n][5n][19+100n][8+43n][6+36n]===[19+102n][16+83n][2+12n][6+34n][12+62n][4n][15+80n][10+55n][13+70n][11+61n][16+87n][17+92n][17+89n][5+29n][12+65n][12+64n][8+44n][10+56n][17+90n][9+49n][10+53n][5+30n][16+85n][10+52n][1+10n][18+97n][16+86n][13+72n][19+101n][12+63n][4+24n][13+68n][4+21n][1+8n][11+57n][1+7n][7+37n][3+19n][13+71n][15+81n][14+75n][11+58n][5+27n][4+25n][17+88n][1+9n][14+77n][19+98n][3n][11+60n][13+67n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-91-69-41-99-23-48-33-42-16-11-14-74-38-39-59-47-13-54-50-73-18-51-93-6-17-31-2-40-79-35-82-95-46-96-66-84-32-22-28-45-76-78-15-94-26-5-100-43-36===102-83-12-34-62-4-80-55-70-61-87-92-89-29-65-64-44-56-90-49-53-30-85-52-10-97-86-72-101-63-24-68-21-8-57-7-37-19-71-81-75-58-27-25-88-9-77-98-3-60-67

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 67+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 67+103n. La série est alors :

1-67-60-3-98-77-9-88-25-27-58-75-81-71-19-37-7-57-8-21-68-24-63-101-72-86-97-10-52-85-30-53-49-90-56-44-64-65-29-89-92-87-61-70-55-80-4-62-34-12-83===102-36-43-100-5-26-94-15-78-76-45-28-22-32-84-66-96-46-95-82-35-79-40-2-31-17-6-93-51-18-73-50-54-13-47-59-39-38-74-14-11-16-42-33-48-23-99-41-69-91-20

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 20+103n.

Calculons 1/103 en base : 67, 170, 273, ...(67+103n) :

1/103 en base 67 = 0,0-43-39-1-63-50-5-57-16-17-37-48-52-46-12-24-4-37-5-13-44-15-40-65-46-55-63-6-33-55-19-34-31-58-36-28-41-42-18-57-59-56-39-45-35-52-2-40-22-7-53===66-23-27-65-3-16-61-9-50-49-29-18-14-20-54-42-62-29-61-53-22-51-26-1-20-11-3-60-33-11-47-32-35-8-30-38-25-24-48-9-7-10-27-21-31-14-64-26-44-59-13...

1/103 en base 170 = 0,1-110-99-4-161-127-14-145-41-44-95-123-133-117-31-61-11-94-13-34-112-39-103-166-118-141-160-16-85-140-49-87-80-148-92-72-105-107-47-146-151-143-100-115-90-132-6-102-56-19-136===168-59-70-165-8-42-155-24-128-125-74-46-36-52-138-108-158-75-156-135-57-130-66-3-51-28-9-153-84-29-120-82-89-21-77-97-64-62-122-23-18-26-69-54-79-37-163-67-113-150-33...

1/103 en base 273 = 0,2-177-159-7-259-204-23-233-66-71-153-198-214-188-50-98-18-151-21-55-180-63-166-267-190-227-257-26-137-225-79-140-129-238-148-116-169-172-76-235-243-230-161-185-145-212-10-164-90-31-219===270-95-113-265-13-68-249-39-206-201-119-74-58-84-222-174-254-121-251-217-92-209-106-5-82-45-15-246-135-47-193-132-143-34-124-156-103-100-196-37-29-42-111-87-127-60-262-108-182-241-53...

Et de manière générale en base 67+103n :

[n][43+67n][39+60n][1+3n][63+98n][50+77n][5+9n][57+88n][16+25n][17+27n][37+58n][48+75n][52+81n][46+71n][12+19n][24+37n][4+7n][37+57n][5+8n][13+21n][44+68n][15+24n][40+63n][65+101n][46+72n][55+86n][63+97n][6+10n][33+52n][55+85n][19+30n][34+53n][31+49n][58+90n][36+56n][28+44n][41+64n][42+65n][18+29n][57+89n][59+92n][56+87n][39+61n][45+70n][35+55n][52+80n][2+4n][40+62n][22+34n][7+12n][53+83n]===[66+102n][23+36n][27+43n][65+100n][3+5n][16+26n][61+94n][9+15n][50+78n][49+76n][29+45n][18+28n][14+22n][20+32n][54+84n][42+66n][62+96n][29+46n][61+95n][53+82n][22+35n][51+79n][26+40n][1+2n][20+31n][11+17n][3+6n][60+93n][33+51n][11+18n][47+73n][32+50n][35+54n][8+13n][30+47n][38+59n][25+39n][24+38n][48+74n][9+14n][7+11n][10+16n][27+42n][21+33n][31+48n][14+23n][64+99n][26+41n][44+69n][59+91n][13+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-67-60-3-98-77-9-88-25-27-58-75-81-71-19-37-7-57-8-21-68-24-63-101-72-86-97-10-52-85-30-53-49-90-56-44-64-65-29-89-92-87-61-70-55-80-4-62-34-12-83===102-36-43-100-5-26-94-15-78-76-45-28-22-32-84-66-96-46-95-82-35-79-40-2-31-17-6-93-51-18-73-50-54-13-47-59-39-38-74-14-11-16-42-33-48-23-99-41-69-91-20

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 67 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 20+103n.

Constatons que 20x67 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103