Pourquoi les périodes de n/103 en base 21+103n se regroupent elles en cette série ?

1-21-29-94-17-48-81-53-83-95-38-77-72-70-28-73-91-57-64-5-2-42-58-85-34-96-59-3-63-87-76-51-41-37-56-43-79-11-25-10-4-84-13-67-68-89-15-6-23-71-49===102-82-74-9-86-55-22-50-20-8-65-26-31-33-75-30-12-46-39-98-101-61-45-18-69-7-44-100-40-16-27-52-62-66-47-60-24-92-78-93-99-19-90-36-35-14-88-97-80-32-54

Calculons 1/103 en base 21+103n (21, 124, 227, ...) :

1/103 en base 21 = 0,0-4-5-19-3-9-16-10-16-19-7-15-14-14-5-14-18-11-13-1-0-8-11-17-6-19-12-0-12-17-15-10-8-7-11-8-16-2-5-2-0-17-2-13-13-18-3-1-4-14-9===20-16-15-1-17-11-4-10-4-1-13-5-6-6-15-6-2-9-7-19-20-12-9-3-14-1-8-20-8-3-5-10-12-13-9-12-4-18-15-18-20-3-18-7-7-2-17-19-16-6-11...

1/103 en base 124 = 0,1-25-34-113-20-57-97-63-99-114-45-92-86-84-33-87-109-68-77-6-2-50-69-102-40-115-71-3-75-104-91-61-49-44-67-51-95-13-30-12-4-101-15-80-81-107-18-7-27-85-58===122-98-89-10-103-66-26-60-24-9-78-31-37-39-90-36-14-55-46-117-121-73-54-21-83-8-52-120-48-19-32-62-74-79-56-72-28-110-93-111-119-22-108-43-42-16-105-116-96-38-65...

1/103 en base 227 = 0,2-46-63-207-37-105-178-116-182-209-83-169-158-154-61-160-200-125-141-11-4-92-127-187-74-211-130-6-138-191-167-112-90-81-123-94-174-24-55-22-8-185-28-147-149-196-33-13-50-156-107===224-180-163-19-189-121-48-110-44-17-143-57-68-72-165-66-26-101-85-215-222-134-99-39-152-15-96-220-88-35-59-114-136-145-103-132-52-202-171-204-218-41-198-79-77-30-193-213-176-70-119...

Et de manière générale en base 21+103n :

[n][4+21n][5+29n][19+94n][3+17n][9+48n][16+81n][10+53n][16+83n][19+95n][7+38n][15+77n][14+72n][14+70n][5+28n][14+73n][18+91n][11+57n][13+64n][1+5n][2n][8+42n][11+58n][17+85n][6+34n][19+96n][12+59n][3n][12+63n][17+87n][15+76n][10+51n][8+41n][7+37n][11+56n][8+43n][16+79n][2+11n][5+25n][2+10n][4n][17+84n][2+13n][13+67n][13+68n][18+89n][3+15n][1+6n][4+23n][14+71n][9+49n]===[20+102n][16+82n][15+74n][1+9n][17+86n][11+55n][4+22n][10+50n][4+20n][1+8n][13+65n][5+26n][6+31n][6+33n][15+75n][6+30n][2+12n][9+46n][7+39n][19+98n][20+101n][12+61n][9+45n][3+18n][14+69n][1+7n][8+44n][20+100n][8+40n][3+16n][5+27n][10+52n][12+62n][13+66n][9+47n][12+60n][4+24n][18+92n][15+78n][18+93n][20+99n][3+19n][18+90n][7+36n][7+35n][2+14n][17+88n][19+97n][16+80n][6+32n][11+54n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-21-29-94-17-48-81-53-83-95-38-77-72-70-28-73-91-57-64-5-2-42-58-85-34-96-59-3-63-87-76-51-41-37-56-43-79-11-25-10-4-84-13-67-68-89-15-6-23-71-49===102-82-74-9-86-55-22-50-20-8-65-26-31-33-75-30-12-46-39-98-101-61-45-18-69-7-44-100-40-16-27-52-62-66-47-60-24-92-78-93-99-19-90-36-35-14-88-97-80-32-54

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 54+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 54+103n. La série est alors :

1-54-32-80-97-88-14-35-36-90-19-99-93-78-92-24-60-47-66-62-52-27-16-40-100-44-7-69-18-45-61-101-98-39-46-12-30-75-33-31-26-65-8-20-50-22-55-86-9-74-82===102-49-71-23-6-15-89-68-67-13-84-4-10-25-11-79-43-56-37-41-51-76-87-63-3-59-96-34-85-58-42-2-5-64-57-91-73-28-70-72-77-38-95-83-53-81-48-17-94-29-21

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 21+103n.

Calculons 1/103 en base : 54, 157, 260, ...(54+103n) :

1/103 en base 54 = 0,0-28-16-41-50-46-7-18-18-47-9-51-48-40-48-12-31-24-34-32-27-14-8-20-52-23-3-36-9-23-31-52-51-20-24-6-15-39-17-16-13-34-4-10-26-11-28-45-4-38-42===53-25-37-12-3-7-46-35-35-6-44-2-5-13-5-41-22-29-19-21-26-39-45-33-1-30-50-17-44-30-22-1-2-33-29-47-38-14-36-37-40-19-49-43-27-42-25-8-49-15-11...

1/103 en base 157 = 0,1-82-48-121-147-134-21-53-54-137-28-150-141-118-140-36-91-71-100-94-79-41-24-60-152-67-10-105-27-68-92-153-149-59-70-18-45-114-50-47-39-99-12-30-76-33-83-131-13-112-124===155-74-108-35-9-22-135-103-102-19-128-6-15-38-16-120-65-85-56-62-77-115-132-96-4-89-146-51-129-88-64-3-7-97-86-138-111-42-106-109-117-57-144-126-80-123-73-25-143-44-32...

1/103 en base 260 = 0,2-136-80-201-244-222-35-88-90-227-47-249-234-196-232-60-151-118-166-156-131-68-40-100-252-111-17-174-45-113-153-254-247-98-116-30-75-189-83-78-65-164-20-50-126-55-138-217-22-186-206===257-123-179-58-15-37-224-171-169-32-212-10-25-63-27-199-108-141-93-103-128-191-219-159-7-148-242-85-214-146-106-5-12-161-143-229-184-70-176-181-194-95-239-209-133-204-121-42-237-73-53...

Et de manière générale en base 54+103n :

[n][28+54n][16+32n][41+80n][50+97n][46+88n][7+14n][18+35n][18+36n][47+90n][9+19n][51+99n][48+93n][40+78n][48+92n][12+24n][31+60n][24+47n][34+66n][32+62n][27+52n][14+27n][8+16n][20+40n][52+100n][23+44n][3+7n][36+69n][9+18n][23+45n][31+61n][52+101n][51+98n][20+39n][24+46n][6+12n][15+30n][39+75n][17+33n][16+31n][13+26n][34+65n][4+8n][10+20n][26+50n][11+22n][28+55n][45+86n][4+9n][38+74n][42+82n]===[53+102n][25+49n][37+71n][12+23n][3+6n][7+15n][46+89n][35+68n][35+67n][6+13n][44+84n][2+4n][5+10n][13+25n][5+11n][41+79n][22+43n][29+56n][19+37n][21+41n][26+51n][39+76n][45+87n][33+63n][1+3n][30+59n][50+96n][17+34n][44+85n][30+58n][22+42n][1+2n][2+5n][33+64n][29+57n][47+91n][38+73n][14+28n][36+70n][37+72n][40+77n][19+38n][49+95n][43+83n][27+53n][42+81n][25+48n][8+17n][49+94n][15+29n][11+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-54-32-80-97-88-14-35-36-90-19-99-93-78-92-24-60-47-66-62-52-27-16-40-100-44-7-69-18-45-61-101-98-39-46-12-30-75-33-31-26-65-8-20-50-22-55-86-9-74-82===102-49-71-23-6-15-89-68-67-13-84-4-10-25-11-79-43-56-37-41-51-76-87-63-3-59-96-34-85-58-42-2-5-64-57-91-73-28-70-72-77-38-95-83-53-81-48-17-94-29-21

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 54 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 21+103n.

Constatons que 21x54 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103