Calcul de 1/103 en base 35+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 35+103n se regroupent elles en cette série ?

1-35-92-27-18-12-8-74-15-10-41-96-64-77-17-80-19-47-100-101-33-22-49-67-79-87-58-73-83-21-14-78-52-69-46-65-9-6-4-37-59-5-72-48-32-90-60-40-61-75-50===102-68-11-76-85-91-95-29-88-93-62-7-39-26-86-23-84-56-3-2-70-81-54-36-24-16-45-30-20-82-89-25-51-34-57-38-94-97-99-66-44-98-31-55-71-13-43-63-42-28-53

Calculons 1/103 en base 35+103n (35, 138, 241, ...) :

1/103 en base 35 = 0,0-11-31-9-6-4-2-25-5-3-13-32-21-26-5-27-6-15-33-34-11-7-16-22-26-29-19-24-28-7-4-26-17-23-15-22-3-2-1-12-20-1-24-16-10-30-20-13-20-25-16===34-23-3-25-28-30-32-9-29-31-21-2-13-8-29-7-28-19-1-0-23-27-18-12-8-5-15-10-6-27-30-8-17-11-19-12-31-32-33-22-14-33-10-18-24-4-14-21-14-9-18...

1/103 en base 138 = 0,1-46-123-36-24-16-10-99-20-13-54-128-85-103-22-107-25-62-133-135-44-29-65-89-105-116-77-97-111-28-18-104-69-92-61-87-12-8-5-49-79-6-96-64-42-120-80-53-81-100-66===136-91-14-101-113-121-127-38-117-124-83-9-52-34-115-30-112-75-4-2-93-108-72-48-32-21-60-40-26-109-119-33-68-45-76-50-125-129-132-88-58-131-41-73-95-17-57-84-56-37-71...

1/103 en base 241 = 0,2-81-215-63-42-28-18-173-35-23-95-224-149-180-39-187-44-109-233-236-77-51-114-156-184-203-135-170-194-49-32-182-121-161-107-152-21-14-9-86-138-11-168-112-74-210-140-93-142-175-116===238-159-25-177-198-212-222-67-205-217-145-16-91-60-201-53-196-131-7-4-163-189-126-84-56-37-105-70-46-191-208-58-119-79-133-88-219-226-231-154-102-229-72-128-166-30-100-147-98-65-124...

Et de manière générale en base 35+103n :

[n][11+35n][31+92n][9+27n][6+18n][4+12n][2+8n][25+74n][5+15n][3+10n][13+41n][32+96n][21+64n][26+77n][5+17n][27+80n][6+19n][15+47n][33+100n][34+101n][11+33n][7+22n][16+49n][22+67n][26+79n][29+87n][19+58n][24+73n][28+83n][7+21n][4+14n][26+78n][17+52n][23+69n][15+46n][22+65n][3+9n][2+6n][1+4n][12+37n][20+59n][1+5n][24+72n][16+48n][10+32n][30+90n][20+60n][13+40n][20+61n][25+75n][16+50n]===[34+102n][23+68n][3+11n][25+76n][28+85n][30+91n][32+95n][9+29n][29+88n][31+93n][21+62n][2+7n][13+39n][8+26n][29+86n][7+23n][28+84n][19+56n][1+3n][2n][23+70n][27+81n][18+54n][12+36n][8+24n][5+16n][15+45n][10+30n][6+20n][27+82n][30+89n][8+25n][17+51n][11+34n][19+57n][12+38n][31+94n][32+97n][33+99n][22+66n][14+44n][33+98n][10+31n][18+55n][24+71n][4+13n][14+43n][21+63n][14+42n][9+28n][18+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 53+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 53+103n. La série est alors :

1-53-28-42-63-43-13-71-55-31-98-44-66-99-97-94-38-57-34-51-25-89-82-20-30-45-16-24-36-54-81-70-2-3-56-84-23-86-26-39-7-62-93-88-29-95-91-85-76-11-68===102-50-75-61-40-60-90-32-48-72-5-59-37-4-6-9-65-46-69-52-78-14-21-83-73-58-87-79-67-49-22-33-101-100-47-19-80-17-77-64-96-41-10-15-74-8-12-18-27-92-35

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 35+103n.

Calculons 1/103 en base : 53, 156, 259, ...(53+103n) :

1/103 en base 53 = 0,0-27-14-21-32-22-6-36-28-15-50-22-33-50-49-48-19-29-17-26-12-45-42-10-15-23-8-12-18-27-41-36-1-1-28-43-11-44-13-20-3-31-47-45-14-48-46-43-39-5-34===52-25-38-31-20-30-46-16-24-37-2-30-19-2-3-4-33-23-35-26-40-7-10-42-37-29-44-40-34-25-11-16-51-51-24-9-41-8-39-32-49-21-5-7-38-4-6-9-13-47-18...

1/103 en base 156 = 0,1-80-42-63-95-65-19-107-83-46-148-66-99-149-146-142-57-86-51-77-37-134-124-30-45-68-24-36-54-81-122-106-3-4-84-127-34-130-39-59-10-93-140-133-43-143-137-128-115-16-102===154-75-113-92-60-90-136-48-72-109-7-89-56-6-9-13-98-69-104-78-118-21-31-125-110-87-131-119-101-74-33-49-152-151-71-28-121-25-116-96-145-62-15-22-112-12-18-27-40-139-53...

1/103 en base 259 = 0,2-133-70-105-158-108-32-178-138-77-246-110-165-248-243-236-95-143-85-128-62-223-206-50-75-113-40-60-90-135-203-176-5-7-140-211-57-216-65-98-17-155-233-221-72-238-228-213-191-27-170===256-125-188-153-100-150-226-80-120-181-12-148-93-10-15-22-163-115-173-130-196-35-52-208-183-145-218-198-168-123-55-82-253-251-118-47-201-42-193-160-241-103-25-37-186-20-30-45-67-231-88...

Et de manière générale en base 53+103n :

[n][27+53n][14+28n][21+42n][32+63n][22+43n][6+13n][36+71n][28+55n][15+31n][50+98n][22+44n][33+66n][50+99n][49+97n][48+94n][19+38n][29+57n][17+34n][26+51n][12+25n][45+89n][42+82n][10+20n][15+30n][23+45n][8+16n][12+24n][18+36n][27+54n][41+81n][36+70n][1+2n][1+3n][28+56n][43+84n][11+23n][44+86n][13+26n][20+39n][3+7n][31+62n][47+93n][45+88n][14+29n][48+95n][46+91n][43+85n][39+76n][5+11n][34+68n]===[52+102n][25+50n][38+75n][31+61n][20+40n][30+60n][46+90n][16+32n][24+48n][37+72n][2+5n][30+59n][19+37n][2+4n][3+6n][4+9n][33+65n][23+46n][35+69n][26+52n][40+78n][7+14n][10+21n][42+83n][37+73n][29+58n][44+87n][40+79n][34+67n][25+49n][11+22n][16+33n][51+101n][51+100n][24+47n][9+19n][41+80n][8+17n][39+77n][32+64n][49+96n][21+41n][5+10n][7+15n][38+74n][4+8n][6+12n][9+18n][13+27n][47+92n][18+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 35+103n.

Constatons que 35x53 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103