Calcul de 1/103 en base 40+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 40+103n se regroupent elles en cette série ?

1-40-55-37-38-78-30-67-2-80-7-74-76-53-60-31-4-57-14-45-49-3-17-62-8-11-28-90-98-6-34-21-16-22-56-77-93-12-68-42-32-44-9-51-83-24-33-84-64-88-18===102-63-48-66-65-25-73-36-101-23-96-29-27-50-43-72-99-46-89-58-54-100-86-41-95-92-75-13-5-97-69-82-87-81-47-26-10-91-35-61-71-59-94-52-20-79-70-19-39-15-85

Calculons 1/103 en base 40+103n (40, 143, 246, ...) :

1/103 en base 40 = 0,0-15-21-14-14-30-11-26-0-31-2-28-29-20-23-12-1-22-5-17-19-1-6-24-3-4-10-34-38-2-13-8-6-8-21-29-36-4-26-16-12-17-3-19-32-9-12-32-24-34-6===39-24-18-25-25-9-28-13-39-8-37-11-10-19-16-27-38-17-34-22-20-38-33-15-36-35-29-5-1-37-26-31-33-31-18-10-3-35-13-23-27-22-36-20-7-30-27-7-15-5-33...

1/103 en base 143 = 0,1-55-76-51-52-108-41-93-2-111-9-102-105-73-83-43-5-79-19-62-68-4-23-86-11-15-38-124-136-8-47-29-22-30-77-106-129-16-94-58-44-61-12-70-115-33-45-116-88-122-24===141-87-66-91-90-34-101-49-140-31-133-40-37-69-59-99-137-63-123-80-74-138-119-56-131-127-104-18-6-134-95-113-120-112-65-36-13-126-48-84-98-81-130-72-27-109-97-26-54-20-118...

1/103 en base 246 = 0,2-95-131-88-90-186-71-160-4-191-16-176-181-126-143-74-9-136-33-107-117-7-40-148-19-26-66-214-234-14-81-50-38-52-133-183-222-28-162-100-76-105-21-121-198-57-78-200-152-210-42===243-150-114-157-155-59-174-85-241-54-229-69-64-119-102-171-236-109-212-138-128-238-205-97-226-219-179-31-11-231-164-195-207-193-112-62-23-217-83-145-169-140-224-124-47-188-167-45-93-35-203...

Et de manière générale en base 40+103n :

[n][15+40n][21+55n][14+37n][14+38n][30+78n][11+30n][26+67n][2n][31+80n][2+7n][28+74n][29+76n][20+53n][23+60n][12+31n][1+4n][22+57n][5+14n][17+45n][19+49n][1+3n][6+17n][24+62n][3+8n][4+11n][10+28n][34+90n][38+98n][2+6n][13+34n][8+21n][6+16n][8+22n][21+56n][29+77n][36+93n][4+12n][26+68n][16+42n][12+32n][17+44n][3+9n][19+51n][32+83n][9+24n][12+33n][32+84n][24+64n][34+88n][6+18n]===[39+102n][24+63n][18+48n][25+66n][25+65n][9+25n][28+73n][13+36n][39+101n][8+23n][37+96n][11+29n][10+27n][19+50n][16+43n][27+72n][38+99n][17+46n][34+89n][22+58n][20+54n][38+100n][33+86n][15+41n][36+95n][35+92n][29+75n][5+13n][1+5n][37+97n][26+69n][31+82n][33+87n][31+81n][18+47n][10+26n][3+10n][35+91n][13+35n][23+61n][27+71n][22+59n][36+94n][20+52n][7+20n][30+79n][27+70n][7+19n][15+39n][5+15n][33+85n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 85+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 85+103n. La série est alors :

1-85-15-39-19-70-79-20-52-94-59-71-61-35-91-10-26-47-81-87-82-69-97-5-13-75-92-95-41-86-100-54-58-89-46-99-72-43-50-27-29-96-23-101-36-73-25-65-66-48-63===102-18-88-64-84-33-24-83-51-9-44-32-42-68-12-93-77-56-22-16-21-34-6-98-90-28-11-8-62-17-3-49-45-14-57-4-31-60-53-76-74-7-80-2-67-30-78-38-37-55-40

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 40+103n.

Calculons 1/103 en base : 85, 188, 291, ...(85+103n) :

1/103 en base 85 = 0,0-70-12-32-15-57-65-16-42-77-48-58-50-28-75-8-21-38-66-71-67-56-80-4-10-61-75-78-33-70-82-44-47-73-37-81-59-35-41-22-23-79-18-83-29-60-20-53-54-39-51===84-14-72-52-69-27-19-68-42-7-36-26-34-56-9-76-63-46-18-13-17-28-4-80-74-23-9-6-51-14-2-40-37-11-47-3-25-49-43-62-61-5-66-1-55-24-64-31-30-45-33...

1/103 en base 188 = 0,1-155-27-71-34-127-144-36-94-171-107-129-111-63-166-18-47-85-147-158-149-125-177-9-23-136-167-173-74-156-182-98-105-162-83-180-131-78-91-49-52-175-41-184-65-133-45-118-120-87-114===186-32-160-116-153-60-43-151-93-16-80-58-76-124-21-169-140-102-40-29-38-62-10-178-164-51-20-14-113-31-5-89-82-25-104-7-56-109-96-138-135-12-146-3-122-54-142-69-67-100-73...

1/103 en base 291 = 0,2-240-42-110-53-197-223-56-146-265-166-200-172-98-257-28-73-132-228-245-231-194-274-14-36-211-259-268-115-242-282-152-163-251-129-279-203-121-141-76-81-271-64-285-101-206-70-183-186-135-177===288-50-248-180-237-93-67-234-144-25-124-90-118-192-33-262-217-158-62-45-59-96-16-276-254-79-31-22-175-48-8-138-127-39-161-11-87-169-149-214-209-19-226-5-189-84-220-107-104-155-113...

Et de manière générale en base 85+103n :

[n][70+85n][12+15n][32+39n][15+19n][57+70n][65+79n][16+20n][42+52n][77+94n][48+59n][58+71n][50+61n][28+35n][75+91n][8+10n][21+26n][38+47n][66+81n][71+87n][67+82n][56+69n][80+97n][4+5n][10+13n][61+75n][75+92n][78+95n][33+41n][70+86n][82+100n][44+54n][47+58n][73+89n][37+46n][81+99n][59+72n][35+43n][41+50n][22+27n][23+29n][79+96n][18+23n][83+101n][29+36n][60+73n][20+25n][53+65n][54+66n][39+48n][51+63n]===[84+102n][14+18n][72+88n][52+64n][69+84n][27+33n][19+24n][68+83n][42+51n][7+9n][36+44n][26+32n][34+42n][56+68n][9+12n][76+93n][63+77n][46+56n][18+22n][13+16n][17+21n][28+34n][4+6n][80+98n][74+90n][23+28n][9+11n][6+8n][51+62n][14+17n][2+3n][40+49n][37+45n][11+14n][47+57n][3+4n][25+31n][49+60n][43+53n][62+76n][61+74n][5+7n][66+80n][1+2n][55+67n][24+30n][64+78n][31+38n][30+37n][45+55n][33+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 85 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 40+103n.

Constatons que 40x85 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103