Pourquoi les périodes de n/103 en base 44+103n se regroupent elles en cette série ?

1-44-82-3-29-40-9-87-17-27-55-51-81-62-50-37-83-47-8-43-38-24-26-11-72-78-33-10-28-99-30-84-91-90-46-67-64-35-98-89-2-88-61-6-58-80-18-71-34-54-7===102-59-21-100-74-63-94-16-86-76-48-52-22-41-53-66-20-56-95-60-65-79-77-92-31-25-70-93-75-4-73-19-12-13-57-36-39-68-5-14-101-15-42-97-45-23-85-32-69-49-96

Calculons 1/103 en base 44+103n (44, 147, 250, ...) :

1/103 en base 44 = 0,0-18-35-1-12-17-3-37-7-11-23-21-34-26-21-15-35-20-3-18-16-10-11-4-30-33-14-4-11-42-12-35-38-38-19-28-27-14-41-38-0-37-26-2-24-34-7-30-14-23-2===43-25-8-42-31-26-40-6-36-32-20-22-9-17-22-28-8-23-40-25-27-33-32-39-13-10-29-39-32-1-31-8-5-5-24-15-16-29-2-5-43-6-17-41-19-9-36-13-29-20-41...

1/103 en base 147 = 0,1-62-117-4-41-57-12-124-24-38-78-72-115-88-71-52-118-67-11-61-54-34-37-15-102-111-47-14-39-141-42-119-129-128-65-95-91-49-139-127-2-125-87-8-82-114-25-101-48-77-9===145-84-29-142-105-89-134-22-122-108-68-74-31-58-75-94-28-79-135-85-92-112-109-131-44-35-99-132-107-5-104-27-17-18-81-51-55-97-7-19-144-21-59-138-64-32-121-45-98-69-137...

1/103 en base 250 = 0,2-106-199-7-70-97-21-211-41-65-133-123-196-150-121-89-201-114-19-104-92-58-63-26-174-189-80-24-67-240-72-203-220-218-111-162-155-84-237-216-4-213-148-14-140-194-43-172-82-131-16===247-143-50-242-179-152-228-38-208-184-116-126-53-99-128-160-48-135-230-145-157-191-186-223-75-60-169-225-182-9-177-46-29-31-138-87-94-165-12-33-245-36-101-235-109-55-206-77-167-118-233...

Et de manière générale en base 44+103n :

[n][18+44n][35+82n][1+3n][12+29n][17+40n][3+9n][37+87n][7+17n][11+27n][23+55n][21+51n][34+81n][26+62n][21+50n][15+37n][35+83n][20+47n][3+8n][18+43n][16+38n][10+24n][11+26n][4+11n][30+72n][33+78n][14+33n][4+10n][11+28n][42+99n][12+30n][35+84n][38+91n][38+90n][19+46n][28+67n][27+64n][14+35n][41+98n][38+89n][2n][37+88n][26+61n][2+6n][24+58n][34+80n][7+18n][30+71n][14+34n][23+54n][2+7n]===[43+102n][25+59n][8+21n][42+100n][31+74n][26+63n][40+94n][6+16n][36+86n][32+76n][20+48n][22+52n][9+22n][17+41n][22+53n][28+66n][8+20n][23+56n][40+95n][25+60n][27+65n][33+79n][32+77n][39+92n][13+31n][10+25n][29+70n][39+93n][32+75n][1+4n][31+73n][8+19n][5+12n][5+13n][24+57n][15+36n][16+39n][29+68n][2+5n][5+14n][43+101n][6+15n][17+42n][41+97n][19+45n][9+23n][36+85n][13+32n][29+69n][20+49n][41+96n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-44-82-3-29-40-9-87-17-27-55-51-81-62-50-37-83-47-8-43-38-24-26-11-72-78-33-10-28-99-30-84-91-90-46-67-64-35-98-89-2-88-61-6-58-80-18-71-34-54-7===102-59-21-100-74-63-94-16-86-76-48-52-22-41-53-66-20-56-95-60-65-79-77-92-31-25-70-93-75-4-73-19-12-13-57-36-39-68-5-14-101-15-42-97-45-23-85-32-69-49-96

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 96+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 96+103n. La série est alors :

1-96-49-69-32-85-23-45-97-42-15-101-14-5-68-39-36-57-13-12-19-73-4-75-93-70-25-31-92-77-79-65-60-95-56-20-66-53-41-22-52-48-76-86-16-94-63-74-100-21-59===102-7-54-34-71-18-80-58-6-61-88-2-89-98-35-64-67-46-90-91-84-30-99-28-10-33-78-72-11-26-24-38-43-8-47-83-37-50-62-81-51-55-27-17-87-9-40-29-3-82-44

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 44+103n.

Calculons 1/103 en base : 96, 199, 302, ...(96+103n) :

1/103 en base 96 = 0,0-89-45-64-29-79-21-41-90-39-13-94-13-4-63-36-33-53-12-11-17-68-3-69-86-65-23-28-85-71-73-60-55-88-52-18-61-49-38-20-48-44-70-80-14-87-58-68-93-19-54===95-6-50-31-66-16-74-54-5-56-82-1-82-91-32-59-62-42-83-84-78-27-92-26-9-30-72-67-10-24-22-35-40-7-43-77-34-46-57-75-47-51-25-15-81-8-37-27-2-76-41...

1/103 en base 199 = 0,1-185-94-133-61-164-44-86-187-81-28-195-27-9-131-75-69-110-25-23-36-141-7-144-179-135-48-59-177-148-152-125-115-183-108-38-127-102-79-42-100-92-146-166-30-181-121-142-193-40-113===197-13-104-65-137-34-154-112-11-117-170-3-171-189-67-123-129-88-173-175-162-57-191-54-19-63-150-139-21-50-46-73-83-15-90-160-71-96-119-156-98-106-52-32-168-17-77-56-5-158-85...

1/103 en base 302 = 0,2-281-143-202-93-249-67-131-284-123-43-296-41-14-199-114-105-167-38-35-55-214-11-219-272-205-73-90-269-225-231-190-175-278-164-58-193-155-120-64-152-140-222-252-46-275-184-216-293-61-172===299-20-158-99-208-52-234-170-17-178-258-5-260-287-102-187-196-134-263-266-246-87-290-82-29-96-228-211-32-76-70-111-126-23-137-243-108-146-181-237-149-161-79-49-255-26-117-85-8-240-129...

Et de manière générale en base 96+103n :

[n][89+96n][45+49n][64+69n][29+32n][79+85n][21+23n][41+45n][90+97n][39+42n][13+15n][94+101n][13+14n][4+5n][63+68n][36+39n][33+36n][53+57n][12+13n][11+12n][17+19n][68+73n][3+4n][69+75n][86+93n][65+70n][23+25n][28+31n][85+92n][71+77n][73+79n][60+65n][55+60n][88+95n][52+56n][18+20n][61+66n][49+53n][38+41n][20+22n][48+52n][44+48n][70+76n][80+86n][14+16n][87+94n][58+63n][68+74n][93+100n][19+21n][54+59n]===[95+102n][6+7n][50+54n][31+34n][66+71n][16+18n][74+80n][54+58n][5+6n][56+61n][82+88n][1+2n][82+89n][91+98n][32+35n][59+64n][62+67n][42+46n][83+90n][84+91n][78+84n][27+30n][92+99n][26+28n][9+10n][30+33n][72+78n][67+72n][10+11n][24+26n][22+24n][35+38n][40+43n][7+8n][43+47n][77+83n][34+37n][46+50n][57+62n][75+81n][47+51n][51+55n][25+27n][15+17n][81+87n][8+9n][37+40n][27+29n][2+3n][76+82n][41+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-96-49-69-32-85-23-45-97-42-15-101-14-5-68-39-36-57-13-12-19-73-4-75-93-70-25-31-92-77-79-65-60-95-56-20-66-53-41-22-52-48-76-86-16-94-63-74-100-21-59===102-7-54-34-71-18-80-58-6-61-88-2-89-98-35-64-67-46-90-91-84-30-99-28-10-33-78-72-11-26-24-38-43-8-47-83-37-50-62-81-51-55-27-17-87-9-40-29-3-82-44

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 96 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 44+103n.

Constatons que 44x96 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103