Pourquoi les périodes de n/103 en base 45+103n se regroupent elles en cette série ?

1-45-68-73-92-20-76-21-18-89-91-78-8-51-29-69-15-57-93-65-41-94-7-6-64-99-26-37-17-44-23-5-19-31-56-48-100-71-2-90-33-43-81-40-49-42-36-75-79-53-16===102-58-35-30-11-83-27-82-85-14-12-25-95-52-74-34-88-46-10-38-62-9-96-97-39-4-77-66-86-59-80-98-84-72-47-55-3-32-101-13-70-60-22-63-54-61-67-28-24-50-87

Calculons 1/103 en base 45+103n (45, 148, 251, ...) :

1/103 en base 45 = 0,0-19-29-31-40-8-33-9-7-38-39-34-3-22-12-30-6-24-40-28-17-41-3-2-27-43-11-16-7-19-10-2-8-13-24-20-43-31-0-39-14-18-35-17-21-18-15-32-34-23-6===44-25-15-13-4-36-11-35-37-6-5-10-41-22-32-14-38-20-4-16-27-3-41-42-17-1-33-28-37-25-34-42-36-31-20-24-1-13-44-5-30-26-9-27-23-26-29-12-10-21-38...

1/103 en base 148 = 0,1-64-97-104-132-28-109-30-25-127-130-112-11-73-41-99-21-81-133-93-58-135-10-8-91-142-37-53-24-63-33-7-27-44-80-68-143-102-2-129-47-61-116-57-70-60-51-107-113-76-22===146-83-50-43-15-119-38-117-122-20-17-35-136-74-106-48-126-66-14-54-89-12-137-139-56-5-110-94-123-84-114-140-120-103-67-79-4-45-145-18-100-86-31-90-77-87-96-40-34-71-125...

1/103 en base 251 = 0,2-109-165-177-224-48-185-51-43-216-221-190-19-124-70-168-36-138-226-158-99-229-17-14-155-241-63-90-41-107-56-12-46-75-136-116-243-173-4-219-80-104-197-97-119-102-87-182-192-129-38===248-141-85-73-26-202-65-199-207-34-29-60-231-126-180-82-214-112-24-92-151-21-233-236-95-9-187-160-209-143-194-238-204-175-114-134-7-77-246-31-170-146-53-153-131-148-163-68-58-121-212...

Et de manière générale en base 45+103n :

[n][19+45n][29+68n][31+73n][40+92n][8+20n][33+76n][9+21n][7+18n][38+89n][39+91n][34+78n][3+8n][22+51n][12+29n][30+69n][6+15n][24+57n][40+93n][28+65n][17+41n][41+94n][3+7n][2+6n][27+64n][43+99n][11+26n][16+37n][7+17n][19+44n][10+23n][2+5n][8+19n][13+31n][24+56n][20+48n][43+100n][31+71n][2n][39+90n][14+33n][18+43n][35+81n][17+40n][21+49n][18+42n][15+36n][32+75n][34+79n][23+53n][6+16n]===[44+102n][25+58n][15+35n][13+30n][4+11n][36+83n][11+27n][35+82n][37+85n][6+14n][5+12n][10+25n][41+95n][22+52n][32+74n][14+34n][38+88n][20+46n][4+10n][16+38n][27+62n][3+9n][41+96n][42+97n][17+39n][1+4n][33+77n][28+66n][37+86n][25+59n][34+80n][42+98n][36+84n][31+72n][20+47n][24+55n][1+3n][13+32n][44+101n][5+13n][30+70n][26+60n][9+22n][27+63n][23+54n][26+61n][29+67n][12+28n][10+24n][21+50n][38+87n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-45-68-73-92-20-76-21-18-89-91-78-8-51-29-69-15-57-93-65-41-94-7-6-64-99-26-37-17-44-23-5-19-31-56-48-100-71-2-90-33-43-81-40-49-42-36-75-79-53-16===102-58-35-30-11-83-27-82-85-14-12-25-95-52-74-34-88-46-10-38-62-9-96-97-39-4-77-66-86-59-80-98-84-72-47-55-3-32-101-13-70-60-22-63-54-61-67-28-24-50-87

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 45 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 87+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 87+103n. La série est alors :

1-87-50-24-28-67-61-54-63-22-60-70-13-101-32-3-55-47-72-84-98-80-59-86-66-77-4-39-97-96-9-62-38-10-46-88-34-74-52-95-25-12-14-85-82-27-83-11-30-35-58===102-16-53-79-75-36-42-49-40-81-43-33-90-2-71-100-48-56-31-19-5-23-44-17-37-26-99-64-6-7-94-41-65-93-57-15-69-29-51-8-78-91-89-18-21-76-20-92-73-68-45

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 45+103n.

Calculons 1/103 en base : 87, 190, 293, ...(87+103n) :

1/103 en base 87 = 0,0-73-42-20-23-56-51-45-53-18-50-59-10-85-27-2-46-39-60-70-82-67-49-72-55-65-3-32-81-81-7-52-32-8-38-74-28-62-43-80-21-10-11-71-69-22-70-9-25-29-48===86-13-44-66-63-30-35-41-33-68-36-27-76-1-59-84-40-47-26-16-4-19-37-14-31-21-83-54-5-5-79-34-54-78-48-12-58-24-43-6-65-76-75-15-17-64-16-77-61-57-38...

1/103 en base 190 = 0,1-160-92-44-51-123-112-99-116-40-110-129-23-186-59-5-101-86-132-154-180-147-108-158-121-142-7-71-178-177-16-114-70-18-84-162-62-136-95-175-46-22-25-156-151-49-153-20-55-64-106===188-29-97-145-138-66-77-90-73-149-79-60-166-3-130-184-88-103-57-35-9-42-81-31-68-47-182-118-11-12-173-75-119-171-105-27-127-53-94-14-143-167-164-33-38-140-36-169-134-125-83...

1/103 en base 293 = 0,2-247-142-68-79-190-173-153-179-62-170-199-36-287-91-8-156-133-204-238-278-227-167-244-187-219-11-110-275-273-25-176-108-28-130-250-96-210-147-270-71-34-39-241-233-76-236-31-85-99-164===290-45-150-224-213-102-119-139-113-230-122-93-256-5-201-284-136-159-88-54-14-65-125-48-105-73-281-182-17-19-267-116-184-264-162-42-196-82-145-22-221-258-253-51-59-216-56-261-207-193-128...

Et de manière générale en base 87+103n :

[n][73+87n][42+50n][20+24n][23+28n][56+67n][51+61n][45+54n][53+63n][18+22n][50+60n][59+70n][10+13n][85+101n][27+32n][2+3n][46+55n][39+47n][60+72n][70+84n][82+98n][67+80n][49+59n][72+86n][55+66n][65+77n][3+4n][32+39n][81+97n][81+96n][7+9n][52+62n][32+38n][8+10n][38+46n][74+88n][28+34n][62+74n][43+52n][80+95n][21+25n][10+12n][11+14n][71+85n][69+82n][22+27n][70+83n][9+11n][25+30n][29+35n][48+58n]===[86+102n][13+16n][44+53n][66+79n][63+75n][30+36n][35+42n][41+49n][33+40n][68+81n][36+43n][27+33n][76+90n][1+2n][59+71n][84+100n][40+48n][47+56n][26+31n][16+19n][4+5n][19+23n][37+44n][14+17n][31+37n][21+26n][83+99n][54+64n][5+6n][5+7n][79+94n][34+41n][54+65n][78+93n][48+57n][12+15n][58+69n][24+29n][43+51n][6+8n][65+78n][76+91n][75+89n][15+18n][17+21n][64+76n][16+20n][77+92n][61+73n][57+68n][38+45n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-87-50-24-28-67-61-54-63-22-60-70-13-101-32-3-55-47-72-84-98-80-59-86-66-77-4-39-97-96-9-62-38-10-46-88-34-74-52-95-25-12-14-85-82-27-83-11-30-35-58===102-16-53-79-75-36-42-49-40-81-43-33-90-2-71-100-48-56-31-19-5-23-44-17-37-26-99-64-6-7-94-41-65-93-57-15-69-29-51-8-78-91-89-18-21-76-20-92-73-68-45

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 87 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 45+103n.

Constatons que 45x87 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103