Calcul de 1/103 en base 48+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 48+103n se regroupent elles en cette série ?

1-48-38-73-2-96-76-43-4-89-49-86-8-75-98-69-16-47-93-35-32-94-83-70-64-85-63-37-25-67-23-74-50-31-46-45-100-62-92-90-97-21-81-77-91-42-59-51-79-84-15===102-55-65-30-101-7-27-60-99-14-54-17-95-28-5-34-87-56-10-68-71-9-20-33-39-18-40-66-78-36-80-29-53-72-57-58-3-41-11-13-6-82-22-26-12-61-44-52-24-19-88

Calculons 1/103 en base 48+103n (48, 151, 254, ...) :

1/103 en base 48 = 0,0-22-17-34-0-44-35-20-1-41-22-40-3-34-45-32-7-21-43-16-14-43-38-32-29-39-29-17-11-31-10-34-23-14-21-20-46-28-42-41-45-9-37-35-42-19-27-23-36-39-6===47-25-30-13-47-3-12-27-46-6-25-7-44-13-2-15-40-26-4-31-33-4-9-15-18-8-18-30-36-16-37-13-24-33-26-27-1-19-5-6-2-38-10-12-5-28-20-24-11-8-41...

1/103 en base 151 = 0,1-70-55-107-2-140-111-63-5-130-71-126-11-109-143-101-23-68-136-51-46-137-121-102-93-124-92-54-36-98-33-108-73-45-67-65-146-90-134-131-142-30-118-112-133-61-86-74-115-123-21===149-80-95-43-148-10-39-87-145-20-79-24-139-41-7-49-127-82-14-99-104-13-29-48-57-26-58-96-114-52-117-42-77-105-83-85-4-60-16-19-8-120-32-38-17-89-64-76-35-27-129...

1/103 en base 254 = 0,2-118-93-180-4-236-187-106-9-219-120-212-19-184-241-170-39-115-229-86-78-231-204-172-157-209-155-91-61-165-56-182-123-76-113-110-246-152-226-221-239-51-199-189-224-103-145-125-194-207-36===251-135-160-73-249-17-66-147-244-34-133-41-234-69-12-83-214-138-24-167-175-22-49-81-96-44-98-162-192-88-197-71-130-177-140-143-7-101-27-32-14-202-54-64-29-150-108-128-59-46-217...

Et de manière générale en base 48+103n :

[n][22+48n][17+38n][34+73n][2n][44+96n][35+76n][20+43n][1+4n][41+89n][22+49n][40+86n][3+8n][34+75n][45+98n][32+69n][7+16n][21+47n][43+93n][16+35n][14+32n][43+94n][38+83n][32+70n][29+64n][39+85n][29+63n][17+37n][11+25n][31+67n][10+23n][34+74n][23+50n][14+31n][21+46n][20+45n][46+100n][28+62n][42+92n][41+90n][45+97n][9+21n][37+81n][35+77n][42+91n][19+42n][27+59n][23+51n][36+79n][39+84n][6+15n]===[47+102n][25+55n][30+65n][13+30n][47+101n][3+7n][12+27n][27+60n][46+99n][6+14n][25+54n][7+17n][44+95n][13+28n][2+5n][15+34n][40+87n][26+56n][4+10n][31+68n][33+71n][4+9n][9+20n][15+33n][18+39n][8+18n][18+40n][30+66n][36+78n][16+36n][37+80n][13+29n][24+53n][33+72n][26+57n][27+58n][1+3n][19+41n][5+11n][6+13n][2+6n][38+82n][10+22n][12+26n][5+12n][28+61n][20+44n][24+52n][11+24n][8+19n][41+88n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 48 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 88+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 88+103n. La série est alors :

1-88-19-24-52-44-61-12-26-22-82-6-13-11-41-3-58-57-72-53-29-80-36-78-66-40-18-39-33-20-9-71-68-10-56-87-34-5-28-95-17-54-14-99-60-27-7-101-30-65-55===102-15-84-79-51-59-42-91-77-81-21-97-90-92-62-100-45-46-31-50-74-23-67-25-37-63-85-64-70-83-94-32-35-93-47-16-69-98-75-8-86-49-89-4-43-76-96-2-73-38-48

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 48+103n.

Calculons 1/103 en base : 88, 191, 294, ...(88+103n) :

1/103 en base 88 = 0,0-75-16-20-44-37-52-10-22-18-70-5-11-9-35-2-49-48-61-45-24-68-30-66-56-34-15-33-28-17-7-60-58-8-47-74-29-4-23-81-14-46-11-84-51-23-5-86-25-55-46===87-12-71-67-43-50-35-77-65-69-17-82-76-78-52-85-38-39-26-42-63-19-57-21-31-53-72-54-59-70-80-27-29-79-40-13-58-83-64-6-73-41-76-3-36-64-82-1-62-32-41...

1/103 en base 191 = 0,1-163-35-44-96-81-113-22-48-40-152-11-24-20-76-5-107-105-133-98-53-148-66-144-122-74-33-72-61-37-16-131-126-18-103-161-63-9-51-176-31-100-25-183-111-50-12-187-55-120-101===189-27-155-146-94-109-77-168-142-150-38-179-166-170-114-185-83-85-57-92-137-42-124-46-68-116-157-118-129-153-174-59-64-172-87-29-127-181-139-14-159-90-165-7-79-140-178-3-135-70-89...

1/103 en base 294 = 0,2-251-54-68-148-125-174-34-74-62-234-17-37-31-117-8-165-162-205-151-82-228-102-222-188-114-51-111-94-57-25-202-194-28-159-248-97-14-79-271-48-154-39-282-171-77-19-288-85-185-156===291-42-239-225-145-168-119-259-219-231-59-276-256-262-176-285-128-131-88-142-211-65-191-71-105-179-242-182-199-236-268-91-99-265-134-45-196-279-214-22-245-139-254-11-122-216-274-5-208-108-137...

Et de manière générale en base 88+103n :

[n][75+88n][16+19n][20+24n][44+52n][37+44n][52+61n][10+12n][22+26n][18+22n][70+82n][5+6n][11+13n][9+11n][35+41n][2+3n][49+58n][48+57n][61+72n][45+53n][24+29n][68+80n][30+36n][66+78n][56+66n][34+40n][15+18n][33+39n][28+33n][17+20n][7+9n][60+71n][58+68n][8+10n][47+56n][74+87n][29+34n][4+5n][23+28n][81+95n][14+17n][46+54n][11+14n][84+99n][51+60n][23+27n][5+7n][86+101n][25+30n][55+65n][46+55n]===[87+102n][12+15n][71+84n][67+79n][43+51n][50+59n][35+42n][77+91n][65+77n][69+81n][17+21n][82+97n][76+90n][78+92n][52+62n][85+100n][38+45n][39+46n][26+31n][42+50n][63+74n][19+23n][57+67n][21+25n][31+37n][53+63n][72+85n][54+64n][59+70n][70+83n][80+94n][27+32n][29+35n][79+93n][40+47n][13+16n][58+69n][83+98n][64+75n][6+8n][73+86n][41+49n][76+89n][3+4n][36+43n][64+76n][82+96n][1+2n][62+73n][32+38n][41+48n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 88 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 48+103n.

Constatons que 48x88 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103