Pourquoi les périodes de n/103 en base 51+103n se regroupent elles en cette série ?

1-51-26-90-58-74-66-70-68-69-17-43-30-88-59-22-92-57-23-40-83-10-98-54-76-65-19-42-82-62-72-67-18-94-56-75-14-96-55-24-91-6-100-53-25-39-32-87-8-99-2===102-52-77-13-45-29-37-33-35-34-86-60-73-15-44-81-11-46-80-63-20-93-5-49-27-38-84-61-21-41-31-36-85-9-47-28-89-7-48-79-12-97-3-50-78-64-71-16-95-4-101

Calculons 1/103 en base 51+103n (51, 154, 257, ...) :

1/103 en base 51 = 0,0-25-12-44-28-36-32-34-33-34-8-21-14-43-29-10-45-28-11-19-41-4-48-26-37-32-9-20-40-30-35-33-8-46-27-37-6-47-27-11-45-2-49-26-12-19-15-43-3-49-0===50-25-38-6-22-14-18-16-17-16-42-29-36-7-21-40-5-22-39-31-9-46-2-24-13-18-41-30-10-20-15-17-42-4-23-13-44-3-23-39-5-48-1-24-38-31-35-7-47-1-50...

1/103 en base 154 = 0,1-76-38-134-86-110-98-104-101-103-25-64-44-131-88-32-137-85-34-59-124-14-146-80-113-97-28-62-122-92-107-100-26-140-83-112-20-143-82-35-136-8-149-79-37-58-47-130-11-148-2===152-77-115-19-67-43-55-49-52-50-128-89-109-22-65-121-16-68-119-94-29-139-7-73-40-56-125-91-31-61-46-53-127-13-70-41-133-10-71-118-17-145-4-74-116-95-106-23-142-5-151...

1/103 en base 257 = 0,2-127-64-224-144-184-164-174-169-172-42-107-74-219-147-54-229-142-57-99-207-24-244-134-189-162-47-104-204-154-179-167-44-234-139-187-34-239-137-59-227-14-249-132-62-97-79-217-19-247-4===254-129-192-32-112-72-92-82-87-84-214-149-182-37-109-202-27-114-199-157-49-232-12-122-67-94-209-152-52-102-77-89-212-22-117-69-222-17-119-197-29-242-7-124-194-159-177-39-237-9-252...

Et de manière générale en base 51+103n :

[n][25+51n][12+26n][44+90n][28+58n][36+74n][32+66n][34+70n][33+68n][34+69n][8+17n][21+43n][14+30n][43+88n][29+59n][10+22n][45+92n][28+57n][11+23n][19+40n][41+83n][4+10n][48+98n][26+54n][37+76n][32+65n][9+19n][20+42n][40+82n][30+62n][35+72n][33+67n][8+18n][46+94n][27+56n][37+75n][6+14n][47+96n][27+55n][11+24n][45+91n][2+6n][49+100n][26+53n][12+25n][19+39n][15+32n][43+87n][3+8n][49+99n][2n]===[50+102n][25+52n][38+77n][6+13n][22+45n][14+29n][18+37n][16+33n][17+35n][16+34n][42+86n][29+60n][36+73n][7+15n][21+44n][40+81n][5+11n][22+46n][39+80n][31+63n][9+20n][46+93n][2+5n][24+49n][13+27n][18+38n][41+84n][30+61n][10+21n][20+41n][15+31n][17+36n][42+85n][4+9n][23+47n][13+28n][44+89n][3+7n][23+48n][39+79n][5+12n][48+97n][1+3n][24+50n][38+78n][31+64n][35+71n][7+16n][47+95n][1+4n][50+101n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-51-26-90-58-74-66-70-68-69-17-43-30-88-59-22-92-57-23-40-83-10-98-54-76-65-19-42-82-62-72-67-18-94-56-75-14-96-55-24-91-6-100-53-25-39-32-87-8-99-2===102-52-77-13-45-29-37-33-35-34-86-60-73-15-44-81-11-46-80-63-20-93-5-49-27-38-84-61-21-41-31-36-85-9-47-28-89-7-48-79-12-97-3-50-78-64-71-16-95-4-101

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 101+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 101+103n. La série est alors :

1-101-4-95-16-71-64-78-50-3-97-12-79-48-7-89-28-47-9-85-36-31-41-21-61-84-38-27-49-5-93-20-63-80-46-11-81-44-15-73-60-86-34-35-33-37-29-45-13-77-52===102-2-99-8-87-32-39-25-53-100-6-91-24-55-96-14-75-56-94-18-67-72-62-82-42-19-65-76-54-98-10-83-40-23-57-92-22-59-88-30-43-17-69-68-70-66-74-58-90-26-51

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 51+103n.

Calculons 1/103 en base : 101, 204, 307, ...(101+103n) :

1/103 en base 101 = 0,0-99-3-93-15-69-62-76-49-2-95-11-77-47-6-87-27-46-8-83-35-30-40-20-59-82-37-26-48-4-91-19-61-78-45-10-79-43-14-71-58-84-33-34-32-36-28-44-12-75-50===100-1-97-7-85-31-38-24-51-98-5-89-23-53-94-13-73-54-92-17-65-70-60-80-41-18-63-74-52-96-9-81-39-22-55-90-21-57-86-29-42-16-67-66-68-64-72-56-88-25-50...

1/103 en base 204 = 0,1-200-7-188-31-140-126-154-99-5-192-23-156-95-13-176-55-93-17-168-71-61-81-41-120-166-75-53-97-9-184-39-124-158-91-21-160-87-29-144-118-170-67-69-65-73-57-89-25-152-102===202-3-196-15-172-63-77-49-104-198-11-180-47-108-190-27-148-110-186-35-132-142-122-162-83-37-128-150-106-194-19-164-79-45-112-182-43-116-174-59-85-33-136-134-138-130-146-114-178-51-101...

1/103 en base 307 = 0,2-301-11-283-47-211-190-232-149-8-289-35-235-143-20-265-83-140-26-253-107-92-122-62-181-250-113-80-146-14-277-59-187-238-137-32-241-131-44-217-178-256-101-104-98-110-86-134-38-229-154===304-5-295-23-259-95-116-74-157-298-17-271-71-163-286-41-223-166-280-53-199-214-184-244-125-56-193-226-160-292-29-247-119-68-169-274-65-175-262-89-128-50-205-202-208-196-220-172-268-77-152...

Et de manière générale en base 101+103n :

[n][99+101n][3+4n][93+95n][15+16n][69+71n][62+64n][76+78n][49+50n][2+3n][95+97n][11+12n][77+79n][47+48n][6+7n][87+89n][27+28n][46+47n][8+9n][83+85n][35+36n][30+31n][40+41n][20+21n][59+61n][82+84n][37+38n][26+27n][48+49n][4+5n][91+93n][19+20n][61+63n][78+80n][45+46n][10+11n][79+81n][43+44n][14+15n][71+73n][58+60n][84+86n][33+34n][34+35n][32+33n][36+37n][28+29n][44+45n][12+13n][75+77n][50+52n]===[100+102n][1+2n][97+99n][7+8n][85+87n][31+32n][38+39n][24+25n][51+53n][98+100n][5+6n][89+91n][23+24n][53+55n][94+96n][13+14n][73+75n][54+56n][92+94n][17+18n][65+67n][70+72n][60+62n][80+82n][41+42n][18+19n][63+65n][74+76n][52+54n][96+98n][9+10n][81+83n][39+40n][22+23n][55+57n][90+92n][21+22n][57+59n][86+88n][29+30n][42+43n][16+17n][67+69n][66+68n][68+70n][64+66n][72+74n][56+58n][88+90n][25+26n][50+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-101-4-95-16-71-64-78-50-3-97-12-79-48-7-89-28-47-9-85-36-31-41-21-61-84-38-27-49-5-93-20-63-80-46-11-81-44-15-73-60-86-34-35-33-37-29-45-13-77-52===102-2-99-8-87-32-39-25-53-100-6-91-24-55-96-14-75-56-94-18-67-72-62-82-42-19-65-76-54-98-10-83-40-23-57-92-22-59-88-30-43-17-69-68-70-66-74-58-90-26-51

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 101 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 51+103n.

Constatons que 51x101 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103