Calcul de 1/103 en base 65+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 65+103n se regroupent elles en cette série ?

1-65-2-27-4-54-8-5-16-10-32-20-64-40-25-80-50-57-100-11-97-22-91-44-79-88-55-73-7-43-14-86-28-69-56-35-9-70-18-37-36-74-72-45-41-90-82-77-61-51-19===102-38-101-76-99-49-95-98-87-93-71-83-39-63-78-23-53-46-3-92-6-81-12-59-24-15-48-30-96-60-89-17-75-34-47-68-94-33-85-66-67-29-31-58-62-13-21-26-42-52-84

Calculons 1/103 en base 65+103n (65, 168, 271, ...) :

1/103 en base 65 = 0,0-41-1-17-2-34-5-3-10-6-20-12-40-25-15-50-31-35-63-6-61-13-57-27-49-55-34-46-4-27-8-54-17-43-35-22-5-44-11-23-22-46-45-28-25-56-51-48-38-32-11===64-23-63-47-62-30-59-61-54-58-44-52-24-39-49-14-33-29-1-58-3-51-7-37-15-9-30-18-60-37-56-10-47-21-29-42-59-20-53-41-42-18-19-36-39-8-13-16-26-32-53...

1/103 en base 168 = 0,1-106-3-44-6-88-13-8-26-16-52-32-104-65-40-130-81-92-163-17-158-35-148-71-128-143-89-119-11-70-22-140-45-112-91-57-14-114-29-60-58-120-117-73-66-146-133-125-99-83-30===166-61-164-123-161-79-154-159-141-151-115-135-63-102-127-37-86-75-4-150-9-132-19-96-39-24-78-48-156-97-145-27-122-55-76-110-153-53-138-107-109-47-50-94-101-21-34-42-68-84-137...

1/103 en base 271 = 0,2-171-5-71-10-142-21-13-42-26-84-52-168-105-65-210-131-149-263-28-255-57-239-115-207-231-144-192-18-113-36-226-73-181-147-92-23-184-47-97-94-194-189-118-107-236-215-202-160-134-49===268-99-265-199-260-128-249-257-228-244-186-218-102-165-205-60-139-121-7-242-15-213-31-155-63-39-126-78-252-157-234-44-197-89-123-178-247-86-223-173-176-76-81-152-163-34-55-68-110-136-221...

Et de manière générale en base 65+103n :

[n][41+65n][1+2n][17+27n][2+4n][34+54n][5+8n][3+5n][10+16n][6+10n][20+32n][12+20n][40+64n][25+40n][15+25n][50+80n][31+50n][35+57n][63+100n][6+11n][61+97n][13+22n][57+91n][27+44n][49+79n][55+88n][34+55n][46+73n][4+7n][27+43n][8+14n][54+86n][17+28n][43+69n][35+56n][22+35n][5+9n][44+70n][11+18n][23+37n][22+36n][46+74n][45+72n][28+45n][25+41n][56+90n][51+82n][48+77n][38+61n][32+51n][11+19n]===[64+102n][23+38n][63+101n][47+76n][62+99n][30+49n][59+95n][61+98n][54+87n][58+93n][44+71n][52+83n][24+39n][39+63n][49+78n][14+23n][33+53n][29+46n][1+3n][58+92n][3+6n][51+81n][7+12n][37+59n][15+24n][9+15n][30+48n][18+30n][60+96n][37+60n][56+89n][10+17n][47+75n][21+34n][29+47n][42+68n][59+94n][20+33n][53+85n][41+66n][42+67n][18+29n][19+31n][36+58n][39+62n][8+13n][13+21n][16+26n][26+42n][32+52n][53+84n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 65 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 84+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 84+103n. La série est alors :

1-84-52-42-26-21-13-62-58-31-29-67-66-85-33-94-68-47-34-75-17-89-60-96-30-48-15-24-59-12-81-6-92-3-46-53-23-78-63-39-83-71-93-87-98-95-49-99-76-101-38===102-19-51-61-77-82-90-41-45-72-74-36-37-18-70-9-35-56-69-28-86-14-43-7-73-55-88-79-44-91-22-97-11-100-57-50-80-25-40-64-20-32-10-16-5-8-54-4-27-2-65

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 65+103n.

Calculons 1/103 en base : 84, 187, 290, ...(84+103n) :

1/103 en base 84 = 0,0-68-42-34-21-17-10-50-47-25-23-54-53-69-26-76-55-38-27-61-13-72-48-78-24-39-12-19-48-9-66-4-75-2-37-43-18-63-51-31-67-57-75-70-79-77-39-80-61-82-30===83-15-41-49-62-66-73-33-36-58-60-29-30-14-57-7-28-45-56-22-70-11-35-5-59-44-71-64-35-74-17-79-8-81-46-40-65-20-32-52-16-26-8-13-4-6-44-3-22-1-53...

1/103 en base 187 = 0,1-152-94-76-47-38-23-112-105-56-52-121-119-154-59-170-123-85-61-136-30-161-108-174-54-87-27-43-107-21-147-10-167-5-83-96-41-141-114-70-150-128-168-157-177-172-88-179-137-183-68===185-34-92-110-139-148-163-74-81-130-134-65-67-32-127-16-63-101-125-50-156-25-78-12-132-99-159-143-79-165-39-176-19-181-103-90-145-45-72-116-36-58-18-29-9-14-98-7-49-3-118...

1/103 en base 290 = 0,2-236-146-118-73-59-36-174-163-87-81-188-185-239-92-264-191-132-95-211-47-250-168-270-84-135-42-67-166-33-228-16-259-8-129-149-64-219-177-109-233-199-261-244-275-267-137-278-213-284-106===287-53-143-171-216-230-253-115-126-202-208-101-104-50-197-25-98-157-194-78-242-39-121-19-205-154-247-222-123-256-61-273-30-281-160-140-225-70-112-180-56-90-28-45-14-22-152-11-76-5-183...

Et de manière générale en base 84+103n :

[n][68+84n][42+52n][34+42n][21+26n][17+21n][10+13n][50+62n][47+58n][25+31n][23+29n][54+67n][53+66n][69+85n][26+33n][76+94n][55+68n][38+47n][27+34n][61+75n][13+17n][72+89n][48+60n][78+96n][24+30n][39+48n][12+15n][19+24n][48+59n][9+12n][66+81n][4+6n][75+92n][2+3n][37+46n][43+53n][18+23n][63+78n][51+63n][31+39n][67+83n][57+71n][75+93n][70+87n][79+98n][77+95n][39+49n][80+99n][61+76n][82+101n][30+38n]===[83+102n][15+19n][41+51n][49+61n][62+77n][66+82n][73+90n][33+41n][36+45n][58+72n][60+74n][29+36n][30+37n][14+18n][57+70n][7+9n][28+35n][45+56n][56+69n][22+28n][70+86n][11+14n][35+43n][5+7n][59+73n][44+55n][71+88n][64+79n][35+44n][74+91n][17+22n][79+97n][8+11n][81+100n][46+57n][40+50n][65+80n][20+25n][32+40n][52+64n][16+20n][26+32n][8+10n][13+16n][4+5n][6+8n][44+54n][3+4n][22+27n][1+2n][53+65n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 84 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 65+103n.

Constatons que 65x84 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103