Pourquoi les périodes de n/103 en base 70+103n se regroupent elles en cette série ?

1-70-59-10-82-75-100-99-29-73-63-84-9-12-16-90-17-57-76-67-55-39-52-35-81-5-41-89-50-101-66-88-83-42-56-6-8-45-60-80-38-85-79-71-26-69-92-54-72-96-25===102-33-44-93-21-28-3-4-74-30-40-19-94-91-87-13-86-46-27-36-48-64-51-68-22-98-62-14-53-2-37-15-20-61-47-97-95-58-43-23-65-18-24-32-77-34-11-49-31-7-78

Calculons 1/103 en base 70+103n (70, 173, 276, ...) :

1/103 en base 70 = 0,0-47-40-6-55-50-67-67-19-49-42-57-6-8-10-61-11-38-51-45-37-26-35-23-55-3-27-60-33-68-44-59-56-28-38-4-5-30-40-54-25-57-53-48-17-46-62-36-48-65-16===69-22-29-63-14-19-2-2-50-20-27-12-63-61-59-8-58-31-18-24-32-43-34-46-14-66-42-9-36-1-25-10-13-41-31-65-64-39-29-15-44-12-16-21-52-23-7-33-21-4-53...

1/103 en base 173 = 0,1-117-99-16-137-125-167-166-48-122-105-141-15-20-26-151-28-95-127-112-92-65-87-58-136-8-68-149-83-169-110-147-139-70-94-10-13-75-100-134-63-142-132-119-43-115-154-90-120-161-41===171-55-73-156-35-47-5-6-124-50-67-31-157-152-146-21-144-77-45-60-80-107-85-114-36-164-104-23-89-3-62-25-33-102-78-162-159-97-72-38-109-30-40-53-129-57-18-82-52-11-131...

1/103 en base 276 = 0,2-187-158-26-219-200-267-265-77-195-168-225-24-32-42-241-45-152-203-179-147-104-139-93-217-13-109-238-133-270-176-235-222-112-150-16-21-120-160-214-101-227-211-190-69-184-246-144-192-257-66===273-88-117-249-56-75-8-10-198-80-107-50-251-243-233-34-230-123-72-96-128-171-136-182-58-262-166-37-142-5-99-40-53-163-125-259-254-155-115-61-174-48-64-85-206-91-29-131-83-18-209...

Et de manière générale en base 70+103n :

[n][47+70n][40+59n][6+10n][55+82n][50+75n][67+100n][67+99n][19+29n][49+73n][42+63n][57+84n][6+9n][8+12n][10+16n][61+90n][11+17n][38+57n][51+76n][45+67n][37+55n][26+39n][35+52n][23+35n][55+81n][3+5n][27+41n][60+89n][33+50n][68+101n][44+66n][59+88n][56+83n][28+42n][38+56n][4+6n][5+8n][30+45n][40+60n][54+80n][25+38n][57+85n][53+79n][48+71n][17+26n][46+69n][62+92n][36+54n][48+72n][65+96n][16+25n]===[69+102n][22+33n][29+44n][63+93n][14+21n][19+28n][2+3n][2+4n][50+74n][20+30n][27+40n][12+19n][63+94n][61+91n][59+87n][8+13n][58+86n][31+46n][18+27n][24+36n][32+48n][43+64n][34+51n][46+68n][14+22n][66+98n][42+62n][9+14n][36+53n][1+2n][25+37n][10+15n][13+20n][41+61n][31+47n][65+97n][64+95n][39+58n][29+43n][15+23n][44+65n][12+18n][16+24n][21+32n][52+77n][23+34n][7+11n][33+49n][21+31n][4+7n][53+78n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-70-59-10-82-75-100-99-29-73-63-84-9-12-16-90-17-57-76-67-55-39-52-35-81-5-41-89-50-101-66-88-83-42-56-6-8-45-60-80-38-85-79-71-26-69-92-54-72-96-25===102-33-44-93-21-28-3-4-74-30-40-19-94-91-87-13-86-46-27-36-48-64-51-68-22-98-62-14-53-2-37-15-20-61-47-97-95-58-43-23-65-18-24-32-77-34-11-49-31-7-78

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 70 modulo 103 

Calcul de 1/103 en base 78+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 78+103n. La série est alors :

1-78-7-31-49-11-34-77-32-24-18-65-23-43-58-95-97-47-61-20-15-37-2-53-14-62-98-22-68-51-64-48-36-27-46-86-13-87-91-94-19-40-30-74-4-3-28-21-93-44-33===102-25-96-72-54-92-69-26-71-79-85-38-80-60-45-8-6-56-42-83-88-66-101-50-89-41-5-81-35-52-39-55-67-76-57-17-90-16-12-9-84-63-73-29-99-100-75-82-10-59-70

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 70+103n.

Calculons 1/103 en base : 78, 181, 284, ...(78+103n) :

1/103 en base 78 = 0,0-59-5-23-37-8-25-58-24-18-13-49-17-32-43-71-73-35-46-15-11-28-1-40-10-46-74-16-51-38-48-36-27-20-34-65-9-65-68-71-14-30-22-56-3-2-21-15-70-33-24===77-18-72-54-40-69-52-19-53-59-64-28-60-45-34-6-4-42-31-62-66-49-76-37-67-31-3-61-26-39-29-41-50-57-43-12-68-12-9-6-63-47-55-21-74-75-56-62-7-44-53...

1/103 en base 181 = 0,1-137-12-54-86-19-59-135-56-42-31-114-40-75-101-166-170-82-107-35-26-65-3-93-24-108-172-38-119-89-112-84-63-47-80-151-22-152-159-165-33-70-52-130-7-5-49-36-163-77-57===179-43-168-126-94-161-121-45-124-138-149-66-140-105-79-14-10-98-73-145-154-115-177-87-156-72-8-142-61-91-68-96-117-133-100-29-158-28-21-15-147-110-128-50-173-175-131-144-17-103-123...

1/103 en base 284 = 0,2-215-19-85-135-30-93-212-88-66-49-179-63-118-159-261-267-129-168-55-41-102-5-146-38-170-270-60-187-140-176-132-99-74-126-237-35-239-250-259-52-110-82-204-11-8-77-57-256-121-90===281-68-264-198-148-253-190-71-195-217-234-104-220-165-124-22-16-154-115-228-242-181-278-137-245-113-13-223-96-143-107-151-184-209-157-46-248-44-33-24-231-173-201-79-272-275-206-226-27-162-193...

Et de manière générale en base 78+103n :

[n][59+78n][5+7n][23+31n][37+49n][8+11n][25+34n][58+77n][24+32n][18+24n][13+18n][49+65n][17+23n][32+43n][43+58n][71+95n][73+97n][35+47n][46+61n][15+20n][11+15n][28+37n][1+2n][40+53n][10+14n][46+62n][74+98n][16+22n][51+68n][38+51n][48+64n][36+48n][27+36n][20+27n][34+46n][65+86n][9+13n][65+87n][68+91n][71+94n][14+19n][30+40n][22+30n][56+74n][3+4n][2+3n][21+28n][15+21n][70+93n][33+44n][24+33n]===[77+102n][18+25n][72+96n][54+72n][40+54n][69+92n][52+69n][19+26n][53+71n][59+79n][64+85n][28+38n][60+80n][45+60n][34+45n][6+8n][4+6n][42+56n][31+42n][62+83n][66+88n][49+66n][76+101n][37+50n][67+89n][31+41n][3+5n][61+81n][26+35n][39+52n][29+39n][41+55n][50+67n][57+76n][43+57n][12+17n][68+90n][12+16n][9+12n][6+9n][63+84n][47+63n][55+73n][21+29n][74+99n][75+100n][56+75n][62+82n][7+10n][44+59n][53+70n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-78-7-31-49-11-34-77-32-24-18-65-23-43-58-95-97-47-61-20-15-37-2-53-14-62-98-22-68-51-64-48-36-27-46-86-13-87-91-94-19-40-30-74-4-3-28-21-93-44-33===102-25-96-72-54-92-69-26-71-79-85-38-80-60-45-8-6-56-42-83-88-66-101-50-89-41-5-81-35-52-39-55-67-76-57-17-90-16-12-9-84-63-73-29-99-100-75-82-10-59-70

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 78 modulo 103 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 70+103n.

Constatons que 70x78 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103