Calcul de 1/103 en base 71+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 71+103n se regroupent elles en cette série ?

1-71-97-89-36-84-93-11-60-37-52-87-100-96-18-42-98-57-30-70-26-95-50-48-9-21-49-80-15-35-13-99-25-24-56-62-76-40-59-69-58-101-64-12-28-31-38-20-81-86-29===102-32-6-14-67-19-10-92-43-66-51-16-3-7-85-61-5-46-73-33-77-8-53-55-94-82-54-23-88-68-90-4-78-79-47-41-27-63-44-34-45-2-39-91-75-72-65-83-22-17-74

Calculons 1/103 en base 71+103n (71, 174, 277, ...) :

1/103 en base 71 = 0,0-48-66-61-24-57-64-7-41-25-35-59-68-66-12-28-67-39-20-48-17-65-34-33-6-14-33-55-10-24-8-68-17-16-38-42-52-27-40-47-39-69-44-8-19-21-26-13-55-59-19===70-22-4-9-46-13-6-63-29-45-35-11-2-4-58-42-3-31-50-22-53-5-36-37-64-56-37-15-60-46-62-2-53-54-32-28-18-43-30-23-31-1-26-62-51-49-44-57-15-11-51...

1/103 en base 174 = 0,1-119-163-150-60-141-157-18-101-62-87-146-168-162-30-70-165-96-50-118-43-160-84-81-15-35-82-135-25-59-21-167-42-40-94-104-128-67-99-116-97-170-108-20-47-52-64-33-136-145-48===172-54-10-23-113-32-16-155-72-111-86-27-5-11-143-103-8-77-123-55-130-13-89-92-158-138-91-38-148-114-152-6-131-133-79-69-45-106-74-57-76-3-65-153-126-121-109-140-37-28-125...

1/103 en base 277 = 0,2-190-260-239-96-225-250-29-161-99-139-233-268-258-48-112-263-153-80-188-69-255-134-129-24-56-131-215-40-94-34-266-67-64-150-166-204-107-158-185-155-271-172-32-75-83-102-53-217-231-77===274-86-16-37-180-51-26-247-115-177-137-43-8-18-228-164-13-123-196-88-207-21-142-147-252-220-145-61-236-182-242-10-209-212-126-110-72-169-118-91-121-5-104-244-201-193-174-223-59-45-199...

Et de manière générale en base 71+103n :

[n][48+71n][66+97n][61+89n][24+36n][57+84n][64+93n][7+11n][41+60n][25+37n][35+52n][59+87n][68+100n][66+96n][12+18n][28+42n][67+98n][39+57n][20+30n][48+70n][17+26n][65+95n][34+50n][33+48n][6+9n][14+21n][33+49n][55+80n][10+15n][24+35n][8+13n][68+99n][17+25n][16+24n][38+56n][42+62n][52+76n][27+40n][40+59n][47+69n][39+58n][69+101n][44+64n][8+12n][19+28n][21+31n][26+38n][13+20n][55+81n][59+86n][19+29n]===[70+102n][22+32n][4+6n][9+14n][46+67n][13+19n][6+10n][63+92n][29+43n][45+66n][35+51n][11+16n][2+3n][4+7n][58+85n][42+61n][3+5n][31+46n][50+73n][22+33n][53+77n][5+8n][36+53n][37+55n][64+94n][56+82n][37+54n][15+23n][60+88n][46+68n][62+90n][2+4n][53+78n][54+79n][32+47n][28+41n][18+27n][43+63n][30+44n][23+34n][31+45n][1+2n][26+39n][62+91n][51+75n][49+72n][44+65n][57+83n][15+22n][11+17n][51+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 71 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 74+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 74+103n. La série est alors :

1-74-17-22-83-65-72-75-91-39-2-45-34-44-63-27-41-47-79-78-4-90-68-88-23-54-82-94-55-53-8-77-33-73-46-5-61-85-7-3-16-51-66-43-92-10-19-67-14-6-32===102-29-86-81-20-38-31-28-12-64-101-58-69-59-40-76-62-56-24-25-99-13-35-15-80-49-21-9-48-50-95-26-70-30-57-98-42-18-96-100-87-52-37-60-11-93-84-36-89-97-71

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 71+103n.

Calculons 1/103 en base : 74, 177, 280, ...(74+103n) :

1/103 en base 74 = 0,0-53-12-15-59-46-51-53-65-28-1-32-24-31-45-19-29-33-56-56-2-64-48-63-16-38-58-67-39-38-5-55-23-52-33-3-43-61-5-2-11-36-47-30-66-7-13-48-10-4-22===73-20-61-58-14-27-22-20-8-45-72-41-49-42-28-54-44-40-17-17-71-9-25-10-57-35-15-6-34-35-68-18-50-21-40-70-30-12-68-71-62-37-26-43-7-66-60-25-63-69-51...

1/103 en base 177 = 0,1-127-29-37-142-111-123-128-156-67-3-77-58-75-108-46-70-80-135-134-6-154-116-151-39-92-140-161-94-91-13-132-56-125-79-8-104-146-12-5-27-87-113-73-158-17-32-115-24-10-54===175-49-147-139-34-65-53-48-20-109-173-99-118-101-68-130-106-96-41-42-170-22-60-25-137-84-36-15-82-85-163-44-120-51-97-168-72-30-164-171-149-89-63-103-18-159-144-61-152-166-122...

1/103 en base 280 = 0,2-201-46-59-225-176-195-203-247-106-5-122-92-119-171-73-111-127-214-212-10-244-184-239-62-146-222-255-149-144-21-209-89-198-125-13-165-231-19-8-43-138-179-116-250-27-51-182-38-16-86===277-78-233-220-54-103-84-76-32-173-274-157-187-160-108-206-168-152-65-67-269-35-95-40-217-133-57-24-130-135-258-70-190-81-154-266-114-48-260-271-236-141-100-163-29-252-228-97-241-263-193...

Et de manière générale en base 74+103n :

[n][53+74n][12+17n][15+22n][59+83n][46+65n][51+72n][53+75n][65+91n][28+39n][1+2n][32+45n][24+34n][31+44n][45+63n][19+27n][29+41n][33+47n][56+79n][56+78n][2+4n][64+90n][48+68n][63+88n][16+23n][38+54n][58+82n][67+94n][39+55n][38+53n][5+8n][55+77n][23+33n][52+73n][33+46n][3+5n][43+61n][61+85n][5+7n][2+3n][11+16n][36+51n][47+66n][30+43n][66+92n][7+10n][13+19n][48+67n][10+14n][4+6n][22+32n]===[73+102n][20+29n][61+86n][58+81n][14+20n][27+38n][22+31n][20+28n][8+12n][45+64n][72+101n][41+58n][49+69n][42+59n][28+40n][54+76n][44+62n][40+56n][17+24n][17+25n][71+99n][9+13n][25+35n][10+15n][57+80n][35+49n][15+21n][6+9n][34+48n][35+50n][68+95n][18+26n][50+70n][21+30n][40+57n][70+98n][30+42n][12+18n][68+96n][71+100n][62+87n][37+52n][26+37n][43+60n][7+11n][66+93n][60+84n][25+36n][63+89n][69+97n][51+71n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 71+103n.

Constatons que 71x74 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103