Calcul de 1/103 en base 77+103n.

Pourquoi les périodes de n/103 en base 77+103n se regroupent elles en cette série ?

1-77-58-37-68-86-30-44-92-80-83-5-76-84-82-31-18-47-14-48-91-3-25-71-8-101-52-90-29-70-34-43-15-22-46-40-93-54-38-42-41-67-9-75-7-24-97-53-64-87-4===102-26-45-66-35-17-73-59-11-23-20-98-27-19-21-72-85-56-89-55-12-100-78-32-95-2-51-13-74-33-69-60-88-81-57-63-10-49-65-61-62-36-94-28-96-79-6-50-39-16-99

Calculons 1/103 en base 77+103n (77, 180, 283, ...) :

1/103 en base 77 = 0,0-57-43-27-50-64-22-32-68-59-62-3-56-62-61-23-13-35-10-35-68-2-18-53-5-75-38-67-21-52-25-32-11-16-34-29-69-40-28-31-30-50-6-56-5-17-72-39-47-65-2===76-19-33-49-26-12-54-44-8-17-14-73-20-14-15-53-63-41-66-41-8-74-58-23-71-1-38-9-55-24-51-44-65-60-42-47-7-36-48-45-46-26-70-20-71-59-4-37-29-11-74...

1/103 en base 180 = 0,1-134-101-64-118-150-52-76-160-139-145-8-132-146-143-54-31-82-24-83-159-5-43-124-13-176-90-157-50-122-59-75-26-38-80-69-162-94-66-73-71-117-15-131-12-41-169-92-111-152-6===178-45-78-115-61-29-127-103-19-40-34-171-47-33-36-125-148-97-155-96-20-174-136-55-166-3-89-22-129-57-120-104-153-141-99-110-17-85-113-106-108-62-164-48-167-138-10-87-68-27-173...

1/103 en base 283 = 0,2-211-159-101-186-236-82-120-252-219-228-13-208-230-225-85-49-129-38-131-250-8-68-195-21-277-142-247-79-192-93-118-41-60-126-109-255-148-104-115-112-184-24-206-19-65-266-145-175-239-10===280-71-123-181-96-46-200-162-30-63-54-269-74-52-57-197-233-153-244-151-32-274-214-87-261-5-140-35-203-90-189-164-241-222-156-173-27-134-178-167-170-98-258-76-263-217-16-137-107-43-272...

Et de manière générale en base 77+103n :

[n][57+77n][43+58n][27+37n][50+68n][64+86n][22+30n][32+44n][68+92n][59+80n][62+83n][3+5n][56+76n][62+84n][61+82n][23+31n][13+18n][35+47n][10+14n][35+48n][68+91n][2+3n][18+25n][53+71n][5+8n][75+101n][38+52n][67+90n][21+29n][52+70n][25+34n][32+43n][11+15n][16+22n][34+46n][29+40n][69+93n][40+54n][28+38n][31+42n][30+41n][50+67n][6+9n][56+75n][5+7n][17+24n][72+97n][39+53n][47+64n][65+87n][2+4n]===[76+102n][19+26n][33+45n][49+66n][26+35n][12+17n][54+73n][44+59n][8+11n][17+23n][14+20n][73+98n][20+27n][14+19n][15+21n][53+72n][63+85n][41+56n][66+89n][41+55n][8+12n][74+100n][58+78n][23+32n][71+95n][1+2n][38+51n][9+13n][55+74n][24+33n][51+69n][44+60n][65+88n][60+81n][42+57n][47+63n][7+10n][36+49n][48+65n][45+61n][46+62n][26+36n][70+94n][20+28n][71+96n][59+79n][4+6n][37+50n][29+39n][11+16n][74+99n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 77 modulo 103

Calcul de 1/103 en base 99+103n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 99+103n. La série est alors :

1-99-16-39-50-6-79-96-28-94-36-62-61-65-49-10-63-57-81-88-60-69-33-74-13-51-2-95-32-78-100-12-55-89-56-85-72-21-19-27-98-20-23-11-59-73-17-35-66-45-26===102-4-87-64-53-97-24-7-75-9-67-41-42-38-54-93-40-46-22-15-43-34-70-29-90-52-101-8-71-25-3-91-48-14-47-18-31-82-84-76-5-83-80-92-44-30-86-68-37-58-77

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 77+103n.

Calculons 1/103 en base : 99, 202, 305, ...(99+103n) :

1/103 en base 99 = 0,0-95-15-37-48-5-75-92-26-90-34-59-58-62-47-9-60-54-77-84-57-66-31-71-12-49-1-91-30-74-96-11-52-85-53-81-69-20-18-25-94-19-22-10-56-70-16-33-63-43-24===98-3-83-61-50-93-23-6-72-8-64-39-40-36-51-89-38-44-21-14-41-32-67-27-86-49-97-7-68-24-2-87-46-13-45-17-29-78-80-73-4-79-76-88-42-28-82-65-35-55-74...

1/103 en base 202 = 0,1-194-31-76-98-11-154-188-54-184-70-121-119-127-96-19-123-111-158-172-117-135-64-145-25-100-3-186-62-152-196-23-107-174-109-166-141-41-37-52-192-39-45-21-115-143-33-68-129-88-50===200-7-170-125-103-190-47-13-147-17-131-80-82-74-105-182-78-90-43-29-84-66-137-56-176-101-198-15-139-49-5-178-94-27-92-35-60-160-164-149-9-162-156-180-86-58-168-133-72-113-151...

1/103 en base 305 = 0,2-293-47-115-148-17-233-284-82-278-106-183-180-192-145-29-186-168-239-260-177-204-97-219-38-151-5-281-94-230-296-35-162-263-165-251-213-62-56-79-290-59-68-32-174-216-50-103-195-133-76===302-11-257-189-156-287-71-20-222-26-198-121-124-112-159-275-118-136-65-44-127-100-207-85-266-153-299-23-210-74-8-269-142-41-139-53-91-242-248-225-14-245-236-272-130-88-254-201-109-171-228...

Et de manière générale en base 99+103n :

[n][95+99n][15+16n][37+39n][48+50n][5+6n][75+79n][92+96n][26+28n][90+94n][34+36n][59+62n][58+61n][62+65n][47+49n][9+10n][60+63n][54+57n][77+81n][84+88n][57+60n][66+69n][31+33n][71+74n][12+13n][49+51n][1+2n][91+95n][30+32n][74+78n][96+100n][11+12n][52+55n][85+89n][53+56n][81+85n][69+72n][20+21n][18+19n][25+27n][94+98n][19+20n][22+23n][10+11n][56+59n][70+73n][16+17n][33+35n][63+66n][43+45n][24+26n]===[98+102n][3+4n][83+87n][61+64n][50+53n][93+97n][23+24n][6+7n][72+75n][8+9n][64+67n][39+41n][40+42n][36+38n][51+54n][89+93n][38+40n][44+46n][21+22n][14+15n][41+43n][32+34n][67+70n][27+29n][86+90n][49+52n][97+101n][7+8n][68+71n][24+25n][2+3n][87+91n][46+48n][13+14n][45+47n][17+18n][29+31n][78+82n][80+84n][73+76n][4+5n][79+83n][76+80n][88+92n][42+44n][28+30n][82+86n][65+68n][35+37n][55+58n][74+77n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 103 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 99 modulo 103

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 77+103n.

Constatons que 77x99 admet 1 pour reste dans la division par 103 et qu'ils sont alors inverses dans Z103