Calcul de 1/107 en base 2+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 2+107n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-64-21-42-84-61-15-30-60-13-26-52-104-101-95-83-59-11-22-44-88-69-31-62-17-34-68-29-58-9-18-36-72-37-74-41-82-57-7-14-28-56-5-10-20-40-80-53===106-105-103-99-91-75-43-86-65-23-46-92-77-47-94-81-55-3-6-12-24-48-96-85-63-19-38-76-45-90-73-39-78-49-98-89-71-35-70-33-66-25-50-100-93-79-51-102-97-87-67-27-54

Calculons 1/107 en base 2+107n (2, 109, 216, ...) :

1/107 en base 2 = 0,00000010011001000111110001101001010001010110001000010===11111101100110111000001110010110101110101001110111101...

1/107 en base 109 = 0,1-2-4-8-16-32-65-21-42-85-62-15-30-61-13-26-52-105-102-96-84-60-11-22-44-89-70-31-63-17-34-69-29-59-9-18-36-73-37-75-41-83-58-7-14-28-57-5-10-20-40-81-53===107-106-104-100-92-76-43-87-66-23-46-93-78-47-95-82-56-3-6-12-24-48-97-86-64-19-38-77-45-91-74-39-79-49-99-90-72-35-71-33-67-25-50-101-94-80-51-103-98-88-68-27-55...

1/107 en base 216 = 0,2-4-8-16-32-64-129-42-84-169-123-30-60-121-26-52-104-209-203-191-167-119-22-44-88-177-139-62-125-34-68-137-58-117-18-36-72-145-74-149-82-165-115-14-28-56-113-10-20-40-80-161-106===213-211-207-199-183-151-86-173-131-46-92-185-155-94-189-163-111-6-12-24-48-96-193-171-127-38-76-153-90-181-147-78-157-98-197-179-143-70-141-66-133-50-100-201-187-159-102-205-195-175-135-54-109...

Et de manière générale en base 2+107n :

[n][2n][4n][8n][16n][32n][1+64n][21n][42n][1+84n][1+61n][15n][30n][1+60n][13n][26n][52n][1+104n][1+101n][1+95n][1+83n][1+59n][11n][22n][44n][1+88n][1+69n][31n][1+62n][17n][34n][1+68n][29n][1+58n][9n][18n][36n][1+72n][37n][1+74n][41n][1+82n][1+57n][7n][14n][28n][1+56n][5n][10n][20n][40n][1+80n][53n]===[1+106n][1+105n][1+103n][1+99n][1+91n][1+75n][43n][1+86n][1+65n][23n][46n][1+92n][1+77n][47n][1+94n][1+81n][1+55n][3n][6n][12n][24n][48n][1+96n][1+85n][1+63n][19n][38n][1+76n][45n][1+90n][1+73n][39n][1+78n][49n][1+98n][1+89n][1+71n][35n][1+70n][33n][1+66n][25n][50n][1+100n][1+93n][1+79n][51n][1+102n][1+97n][1+87n][1+67n][27n][1+54n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 54+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 54+107n. La série est alors :

1-54-27-67-87-97-102-51-79-93-100-50-25-66-33-70-35-71-89-98-49-78-39-73-90-45-76-38-19-63-85-96-48-24-12-6-3-55-81-94-47-77-92-46-23-65-86-43-75-91-99-103-105===106-53-80-40-20-10-5-56-28-14-7-57-82-41-74-37-72-36-18-9-58-29-68-34-17-62-31-69-88-44-22-11-59-83-95-101-104-52-26-13-60-30-15-61-84-42-21-64-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+107n.

Calculons 1/107 en base : 54, 161, 268, ...(54+107n) :

1/107 en base 54 = 0,0-27-13-33-43-48-51-25-39-46-50-25-12-33-16-35-17-35-44-49-24-39-19-36-45-22-38-19-9-31-42-48-24-12-6-3-1-27-40-47-23-38-46-23-11-32-43-21-37-45-49-51-52===53-26-40-20-10-5-2-28-14-7-3-28-41-20-37-18-36-18-9-4-29-14-34-17-8-31-15-34-44-22-11-5-29-41-47-50-52-26-13-6-30-15-7-30-42-21-10-32-16-8-4-2-1...

1/107 en base 161 = 0,1-81-40-100-130-145-153-76-118-139-150-75-37-99-49-105-52-106-133-147-73-117-58-109-135-67-114-57-28-94-127-144-72-36-18-9-4-82-121-141-70-115-138-69-34-97-129-64-112-136-148-154-157===159-79-120-60-30-15-7-84-42-21-10-85-123-61-111-55-108-54-27-13-87-43-102-51-25-93-46-103-132-66-33-16-88-124-142-151-156-78-39-19-90-45-22-91-126-63-31-96-48-24-12-6-3...

1/107 en base 268 = 0,2-135-67-167-217-242-255-127-197-232-250-125-62-165-82-175-87-177-222-245-122-195-97-182-225-112-190-95-47-157-212-240-120-60-30-15-7-137-202-235-117-192-230-115-57-162-215-107-187-227-247-257-262===265-132-200-100-50-25-12-140-70-35-17-142-205-102-185-92-180-90-45-22-145-72-170-85-42-155-77-172-220-110-55-27-147-207-237-252-260-130-65-32-150-75-37-152-210-105-52-160-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 54+107n :

[n][27+54n][13+27n][33+67n][43+87n][48+97n][51+102n][25+51n][39+79n][46+93n][50+100n][25+50n][12+25n][33+66n][16+33n][35+70n][17+35n][35+71n][44+89n][49+98n][24+49n][39+78n][19+39n][36+73n][45+90n][22+45n][38+76n][19+38n][9+19n][31+63n][42+85n][48+96n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][27+55n][40+81n][47+94n][23+47n][38+77n][46+92n][23+46n][11+23n][32+65n][43+86n][21+43n][37+75n][45+91n][49+99n][51+103n][52+105n]===[53+106n][26+53n][40+80n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][28+56n][14+28n][7+14n][3+7n][28+57n][41+82n][20+41n][37+74n][18+37n][36+72n][18+36n][9+18n][4+9n][29+58n][14+29n][34+68n][17+34n][8+17n][31+62n][15+31n][34+69n][44+88n][22+44n][11+22n][5+11n][29+59n][41+83n][47+95n][50+101n][52+104n][26+52n][13+26n][6+13n][30+60n][15+30n][7+15n][30+61n][42+84n][21+42n][10+21n][32+64n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 54 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+107n.

Constatons que 2x54 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107