Pourquoi les périodes de n/107 en base 5+107n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-18-90-22-3-15-75-54-56-66-9-45-11-55-61-91-27-28-33-58-76-59-81-84-99-67-14-70-29-38-83-94-42-103-87-7-35-68-19-95-47-21-105-97-57-71-34-63-101-77-64===106-102-82-89-17-85-104-92-32-53-51-41-98-62-96-52-46-16-80-79-74-49-31-48-26-23-8-40-93-37-78-69-24-13-65-4-20-100-72-39-88-12-60-86-2-10-50-36-73-44-6-30-43

Calculons 1/107 en base 5+107n (5, 112, 219, ...) :

1/107 en base 5 = 0,00104100322302022411123233430311341440130420442312432===44340344122142422033321211014133103004314024002132012...

1/107 en base 112 = 0,1-5-26-18-94-23-3-15-78-56-58-69-9-47-11-57-63-95-28-29-34-60-79-61-84-87-103-70-14-73-30-39-86-98-43-107-91-7-36-71-19-99-49-21-109-101-59-74-35-65-105-80-66===110-106-85-93-17-88-108-96-33-55-53-42-102-64-100-54-48-16-83-82-77-51-32-50-27-24-8-41-97-38-81-72-25-13-68-4-20-104-75-40-92-12-62-90-2-10-52-37-76-46-6-31-45...

1/107 en base 219 = 0,2-10-51-36-184-45-6-30-153-110-114-135-18-92-22-112-124-186-55-57-67-118-155-120-165-171-202-137-28-143-59-77-169-192-85-210-178-14-71-139-38-194-96-42-214-198-116-145-69-128-206-157-130===216-208-167-182-34-173-212-188-65-108-104-83-200-126-196-106-94-32-163-161-151-100-63-98-53-47-16-81-190-75-159-141-49-26-133-8-40-204-147-79-180-24-122-176-4-20-102-73-149-90-12-61-88...

Et de manière générale en base 5+107n :

[n][5n][1+25n][18n][4+90n][1+22n][3n][15n][3+75n][2+54n][2+56n][3+66n][9n][2+45n][11n][2+55n][2+61n][4+91n][1+27n][1+28n][1+33n][2+58n][3+76n][2+59n][3+81n][3+84n][4+99n][3+67n][14n][3+70n][1+29n][1+38n][3+83n][4+94n][1+42n][4+103n][4+87n][7n][1+35n][3+68n][19n][4+95n][2+47n][21n][4+105n][4+97n][2+57n][3+71n][1+34n][2+63n][4+101n][3+77n][2+64n]===[4+106n][4+102n][3+82n][4+89n][17n][3+85n][4+104n][4+92n][1+32n][2+53n][2+51n][1+41n][4+98n][2+62n][4+96n][2+52n][2+46n][16n][3+80n][3+79n][3+74n][2+49n][1+31n][2+48n][1+26n][1+23n][8n][1+40n][4+93n][1+37n][3+78n][3+69n][1+24n][13n][3+65n][4n][20n][4+100n][3+72n][1+39n][4+88n][12n][2+60n][4+86n][2n][10n][2+50n][1+36n][3+73n][2+44n][6n][1+30n][2+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-25-18-90-22-3-15-75-54-56-66-9-45-11-55-61-91-27-28-33-58-76-59-81-84-99-67-14-70-29-38-83-94-42-103-87-7-35-68-19-95-47-21-105-97-57-71-34-63-101-77-64===106-102-82-89-17-85-104-92-32-53-51-41-98-62-96-52-46-16-80-79-74-49-31-48-26-23-8-40-93-37-78-69-24-13-65-4-20-100-72-39-88-12-60-86-2-10-50-36-73-44-6-30-43

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 107 

Calcul de 1/107 en base 43+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 43+107n. La série est alors :

1-43-30-6-44-73-36-50-10-2-86-60-12-88-39-72-100-20-4-65-13-24-69-78-37-93-40-8-23-26-48-31-49-74-79-80-16-46-52-96-62-98-41-51-53-32-92-104-85-17-89-82-102===106-64-77-101-63-34-71-57-97-105-21-47-95-19-68-35-7-87-103-42-94-83-38-29-70-14-67-99-84-81-59-76-58-33-28-27-91-61-55-11-45-9-66-56-54-75-15-3-22-90-18-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+107n.

Calculons 1/107 en base : 43, 150, 257, ...(43+107n) :

1/107 en base 43 = 0,0-17-12-2-17-29-14-20-4-0-34-24-4-35-15-28-40-8-1-26-5-9-27-31-14-37-16-3-9-10-19-12-19-29-31-32-6-18-20-38-24-39-16-20-21-12-36-41-34-6-35-32-40===42-25-30-40-25-13-28-22-38-42-8-18-38-7-27-14-2-34-41-16-37-33-15-11-28-5-26-39-33-32-23-30-23-13-11-10-36-24-22-4-18-3-26-22-21-30-6-1-8-36-7-10-2...

1/107 en base 150 = 0,1-60-42-8-61-102-50-70-14-2-120-84-16-123-54-100-140-28-5-91-18-33-96-109-51-130-56-11-32-36-67-43-68-103-110-112-22-64-72-134-86-137-57-71-74-44-128-145-119-23-124-114-142===148-89-107-141-88-47-99-79-135-147-29-65-133-26-95-49-9-121-144-58-131-116-53-40-98-19-93-138-117-113-82-106-81-46-39-37-127-85-77-15-63-12-92-78-75-105-21-4-30-126-25-35-7...

1/107 en base 257 = 0,2-103-72-14-105-175-86-120-24-4-206-144-28-211-93-172-240-48-9-156-31-57-165-187-88-223-96-19-55-62-115-74-117-177-189-192-38-110-124-230-148-235-98-122-127-76-220-249-204-40-213-196-244===254-153-184-242-151-81-170-136-232-252-50-112-228-45-163-84-16-208-247-100-225-199-91-69-168-33-160-237-201-194-141-182-139-79-67-64-218-146-132-26-108-21-158-134-129-180-36-7-52-216-43-60-12...

Et de manière générale en base 43+107n :

[n][17+43n][12+30n][2+6n][17+44n][29+73n][14+36n][20+50n][4+10n][2n][34+86n][24+60n][4+12n][35+88n][15+39n][28+72n][40+100n][8+20n][1+4n][26+65n][5+13n][9+24n][27+69n][31+78n][14+37n][37+93n][16+40n][3+8n][9+23n][10+26n][19+48n][12+31n][19+49n][29+74n][31+79n][32+80n][6+16n][18+46n][20+52n][38+96n][24+62n][39+98n][16+41n][20+51n][21+53n][12+32n][36+92n][41+104n][34+85n][6+17n][35+89n][32+82n][40+102n]===[42+106n][25+64n][30+77n][40+101n][25+63n][13+34n][28+71n][22+57n][38+97n][42+105n][8+21n][18+47n][38+95n][7+19n][27+68n][14+35n][2+7n][34+87n][41+103n][16+42n][37+94n][33+83n][15+38n][11+29n][28+70n][5+14n][26+67n][39+99n][33+84n][32+81n][23+59n][30+76n][23+58n][13+33n][11+28n][10+27n][36+91n][24+61n][22+55n][4+11n][18+45n][3+9n][26+66n][22+56n][21+54n][30+75n][6+15n][1+3n][8+22n][36+90n][7+18n][10+25n][2+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-43-30-6-44-73-36-50-10-2-86-60-12-88-39-72-100-20-4-65-13-24-69-78-37-93-40-8-23-26-48-31-49-74-79-80-16-46-52-96-62-98-41-51-53-32-92-104-85-17-89-82-102===106-64-77-101-63-34-71-57-97-105-21-47-95-19-68-35-7-87-103-42-94-83-38-29-70-14-67-99-84-81-59-76-58-33-28-27-91-61-55-11-45-9-66-56-54-75-15-3-22-90-18-25-5

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 107 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+107n.

Constatons que 5x43 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107