Pourquoi les périodes de n/107 en base 6+107n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-2-12-72-4-24-37-8-48-74-16-96-41-32-85-82-64-63-57-21-19-7-42-38-14-84-76-28-61-45-56-15-90-5-30-73-10-60-39-20-13-78-40-26-49-80-52-98-53-104-89===106-101-71-105-95-35-103-83-70-99-59-33-91-11-66-75-22-25-43-44-50-86-88-100-65-69-93-23-31-79-46-62-51-92-17-102-77-34-97-47-68-87-94-29-67-81-58-27-55-9-54-3-18

Calculons 1/107 en base 6+107n (6, 113, 220, ...) :

1/107 en base 6 = 0,00200401202405214433311022044132305014032104212425254===55355154353150341122244533511423250541523451343130301...

1/107 en base 113 = 0,1-6-38-2-12-76-4-25-39-8-50-78-16-101-43-33-89-86-67-66-60-22-20-7-44-40-14-88-80-29-64-47-59-15-95-5-31-77-10-63-41-21-13-82-42-27-51-84-54-103-55-109-93===111-106-74-110-100-36-108-87-73-104-62-34-96-11-69-79-23-26-45-46-52-90-92-105-68-72-98-24-32-83-48-65-53-97-17-107-81-35-102-49-71-91-99-30-70-85-61-28-58-9-57-3-19...

1/107 en base 220 = 0,2-12-74-4-24-148-8-49-76-16-98-152-32-197-84-65-174-168-131-129-117-43-39-14-86-78-28-172-156-57-125-92-115-30-185-10-61-150-20-123-80-41-26-160-82-53-100-164-106-201-108-213-182===217-207-145-215-195-71-211-170-143-203-121-67-187-22-135-154-45-51-88-90-102-176-180-205-133-141-191-47-63-162-94-127-104-189-34-209-158-69-199-96-139-178-193-59-137-166-119-55-113-18-111-6-37...

Et de manière générale en base 6+107n :

[n][6n][2+36n][2n][12n][4+72n][4n][1+24n][2+37n][8n][2+48n][4+74n][16n][5+96n][2+41n][1+32n][4+85n][4+82n][3+64n][3+63n][3+57n][1+21n][1+19n][7n][2+42n][2+38n][14n][4+84n][4+76n][1+28n][3+61n][2+45n][3+56n][15n][5+90n][5n][1+30n][4+73n][10n][3+60n][2+39n][1+20n][13n][4+78n][2+40n][1+26n][2+49n][4+80n][2+52n][5+98n][2+53n][5+104n][4+89n]===[5+106n][5+101n][3+71n][5+105n][5+95n][1+35n][5+103n][4+83n][3+70n][5+99n][3+59n][1+33n][5+91n][11n][3+66n][4+75n][1+22n][1+25n][2+43n][2+44n][2+50n][4+86n][4+88n][5+100n][3+65n][3+69n][5+93n][1+23n][1+31n][4+79n][2+46n][3+62n][2+51n][5+92n][17n][5+102n][4+77n][1+34n][5+97n][2+47n][3+68n][4+87n][5+94n][1+29n][3+67n][4+81n][3+58n][1+27n][3+55n][9n][3+54n][3n][1+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-6-36-2-12-72-4-24-37-8-48-74-16-96-41-32-85-82-64-63-57-21-19-7-42-38-14-84-76-28-61-45-56-15-90-5-30-73-10-60-39-20-13-78-40-26-49-80-52-98-53-104-89===106-101-71-105-95-35-103-83-70-99-59-33-91-11-66-75-22-25-43-44-50-86-88-100-65-69-93-23-31-79-46-62-51-92-17-102-77-34-97-47-68-87-94-29-67-81-58-27-55-9-54-3-18

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 107 

Calcul de 1/107 en base 18+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 18+107n. La série est alors :

1-18-3-54-9-55-27-58-81-67-29-94-87-68-47-97-34-77-102-17-92-51-62-46-79-31-23-93-69-65-100-88-86-50-44-43-25-22-75-66-11-91-33-59-99-70-83-103-35-95-105-71-101===106-89-104-53-98-52-80-49-26-40-78-13-20-39-60-10-73-30-5-90-15-56-45-61-28-76-84-14-38-42-7-19-21-57-63-64-82-85-32-41-96-16-74-48-8-37-24-4-72-12-2-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+107n.

Calculons 1/107 en base : 18, 125, 232, ...(18+107n) :

1/107 en base 18 = 0,0-3-0-9-1-9-4-9-13-11-4-15-14-11-7-16-5-12-17-2-15-8-10-7-13-5-3-15-11-10-16-14-14-8-7-7-4-3-12-11-1-15-5-9-16-11-13-17-5-15-17-11-16===17-14-17-8-16-8-13-8-4-6-13-2-3-6-10-1-12-5-0-15-2-9-7-10-4-12-14-2-6-7-1-3-3-9-10-10-13-14-5-6-16-2-12-8-1-6-4-0-12-2-0-6-1...

1/107 en base 125 = 0,1-21-3-63-10-64-31-67-94-78-33-109-101-79-54-113-39-89-119-19-107-59-72-53-92-36-26-108-80-75-116-102-100-58-51-50-29-25-87-77-12-106-38-68-115-81-96-120-40-110-122-82-117===123-103-121-61-114-60-93-57-30-46-91-15-23-45-70-11-85-35-5-105-17-65-52-71-32-88-98-16-44-49-8-22-24-66-73-74-95-99-37-47-112-18-86-56-9-43-28-4-84-14-2-42-7...

1/107 en base 232 = 0,2-39-6-117-19-119-58-125-175-145-62-203-188-147-101-210-73-166-221-36-199-110-134-99-171-67-49-201-149-140-216-190-186-108-95-93-54-47-162-143-23-197-71-127-214-151-179-223-75-205-227-153-218===229-192-225-114-212-112-173-106-56-86-169-28-43-84-130-21-158-65-10-195-32-121-97-132-60-164-182-30-82-91-15-41-45-123-136-138-177-184-69-88-208-34-160-104-17-80-52-8-156-26-4-78-13...

Et de manière générale en base 18+107n :

[n][3+18n][3n][9+54n][1+9n][9+55n][4+27n][9+58n][13+81n][11+67n][4+29n][15+94n][14+87n][11+68n][7+47n][16+97n][5+34n][12+77n][17+102n][2+17n][15+92n][8+51n][10+62n][7+46n][13+79n][5+31n][3+23n][15+93n][11+69n][10+65n][16+100n][14+88n][14+86n][8+50n][7+44n][7+43n][4+25n][3+22n][12+75n][11+66n][1+11n][15+91n][5+33n][9+59n][16+99n][11+70n][13+83n][17+103n][5+35n][15+95n][17+105n][11+71n][16+101n]===[17+106n][14+89n][17+104n][8+53n][16+98n][8+52n][13+80n][8+49n][4+26n][6+40n][13+78n][2+13n][3+20n][6+39n][10+60n][1+10n][12+73n][5+30n][5n][15+90n][2+15n][9+56n][7+45n][10+61n][4+28n][12+76n][14+84n][2+14n][6+38n][7+42n][1+7n][3+19n][3+21n][9+57n][10+63n][10+64n][13+82n][14+85n][5+32n][6+41n][16+96n][2+16n][12+74n][8+48n][1+8n][6+37n][4+24n][4n][12+72n][2+12n][2n][6+36n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-3-54-9-55-27-58-81-67-29-94-87-68-47-97-34-77-102-17-92-51-62-46-79-31-23-93-69-65-100-88-86-50-44-43-25-22-75-66-11-91-33-59-99-70-83-103-35-95-105-71-101===106-89-104-53-98-52-80-49-26-40-78-13-20-39-60-10-73-30-5-90-15-56-45-61-28-76-84-14-38-42-7-19-21-57-63-64-82-85-32-41-96-16-74-48-8-37-24-4-72-12-2-36-6

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 107 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+107n.

Constatons que 6x18 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107