Calcul de 1/107 en base 7+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 7+107n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-22-47-8-56-71-69-55-64-20-33-17-12-84-53-50-29-96-30-103-79-18-19-26-75-97-37-45-101-65-27-82-39-59-92-2-14-98-44-94-16-5-35-31-3-21-40-66-34-24-61===106-100-58-85-60-99-51-36-38-52-43-87-74-90-95-23-54-57-78-11-77-4-28-89-88-81-32-10-70-62-6-42-80-25-68-48-15-105-93-9-63-13-91-102-72-76-104-86-67-41-73-83-46

Calculons 1/107 en base 7+107n (7, 114, 221, ...) :

1/107 en base 7 = 0,00313034434121053316165111462264152360062610220124213===66353632232545613350501555204402514306604056446542453...

1/107 en base 114 = 0,1-7-52-23-50-8-59-75-73-58-68-21-35-18-12-89-56-53-30-102-31-109-84-19-20-27-79-103-39-47-107-69-28-87-41-62-98-2-14-104-46-100-17-5-37-33-3-22-42-70-36-25-64===112-106-61-90-63-105-54-38-40-55-45-92-78-95-101-24-57-60-83-11-82-4-29-94-93-86-34-10-74-66-6-44-85-26-72-51-15-111-99-9-67-13-96-108-76-80-110-91-71-43-77-88-49...

1/107 en base 221 = 0,2-14-101-45-97-16-115-146-142-113-132-41-68-35-24-173-109-103-59-198-61-212-163-37-39-53-154-200-76-92-208-134-55-169-80-121-190-4-28-202-90-194-33-10-72-64-6-43-82-136-70-49-125===218-206-119-175-123-204-105-74-78-107-88-179-152-185-196-47-111-117-161-22-159-8-57-183-181-167-66-20-144-128-12-86-165-51-140-99-30-216-192-18-130-26-187-210-148-156-214-177-138-84-150-171-95...

Et de manière générale en base 7+107n :

[n][7n][3+49n][1+22n][3+47n][8n][3+56n][4+71n][4+69n][3+55n][4+64n][1+20n][2+33n][1+17n][12n][5+84n][3+53n][3+50n][1+29n][6+96n][1+30n][6+103n][5+79n][1+18n][1+19n][1+26n][4+75n][6+97n][2+37n][2+45n][6+101n][4+65n][1+27n][5+82n][2+39n][3+59n][6+92n][2n][14n][6+98n][2+44n][6+94n][1+16n][5n][2+35n][2+31n][3n][1+21n][2+40n][4+66n][2+34n][1+24n][3+61n]===[6+106n][6+100n][3+58n][5+85n][3+60n][6+99n][3+51n][2+36n][2+38n][3+52n][2+43n][5+87n][4+74n][5+90n][6+95n][1+23n][3+54n][3+57n][5+78n][11n][5+77n][4n][1+28n][5+89n][5+88n][5+81n][2+32n][10n][4+70n][4+62n][6n][2+42n][5+80n][1+25n][4+68n][3+48n][15n][6+105n][6+93n][9n][4+63n][13n][5+91n][6+102n][4+72n][4+76n][6+104n][5+86n][4+67n][2+41n][4+73n][5+83n][3+46n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 46+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 46+107n. La série est alors :

1-46-83-73-41-67-86-104-76-72-102-91-13-63-9-93-105-15-48-68-25-80-42-6-62-70-10-32-81-88-89-28-4-77-11-78-57-54-23-95-90-74-87-43-52-38-36-51-99-60-85-58-100===106-61-24-34-66-40-21-3-31-35-5-16-94-44-98-14-2-92-59-39-82-27-65-101-45-37-97-75-26-19-18-79-103-30-96-29-50-53-84-12-17-33-20-64-55-69-71-56-8-47-22-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+107n.

Calculons 1/107 en base : 46, 153, 260, ...(46+107n) :

1/107 en base 46 = 0,0-19-35-31-17-28-36-44-32-30-43-39-5-27-3-39-45-6-20-29-10-34-18-2-26-30-4-13-34-37-38-12-1-33-4-33-24-23-9-40-38-31-37-18-22-16-15-21-42-25-36-24-42===45-26-10-14-28-17-9-1-13-15-2-6-40-18-42-6-0-39-25-16-35-11-27-43-19-15-41-32-11-8-7-33-44-12-41-12-21-22-36-5-7-14-8-27-23-29-30-24-3-20-9-21-3...

1/107 en base 153 = 0,1-65-118-104-58-95-122-148-108-102-145-130-18-90-12-132-150-21-68-97-35-114-60-8-88-100-14-45-115-125-127-40-5-110-15-111-81-77-32-135-128-105-124-61-74-54-51-72-141-85-121-82-142===151-87-34-48-94-57-30-4-44-50-7-22-134-62-140-20-2-131-84-55-117-38-92-144-64-52-138-107-37-27-25-112-147-42-137-41-71-75-120-17-24-47-28-91-78-98-101-80-11-67-31-70-10...

1/107 en base 260 = 0,2-111-201-177-99-162-208-252-184-174-247-221-31-153-21-225-255-36-116-165-60-194-102-14-150-170-24-77-196-213-216-68-9-187-26-189-138-131-55-230-218-179-211-104-126-92-87-123-240-145-206-140-242===257-148-58-82-160-97-51-7-75-85-12-38-228-106-238-34-4-223-143-94-199-65-157-245-109-89-235-182-63-46-43-191-250-72-233-70-121-128-204-29-41-80-48-155-133-167-172-136-19-114-53-119-17...

Et de manière générale en base 46+107n :

[n][19+46n][35+83n][31+73n][17+41n][28+67n][36+86n][44+104n][32+76n][30+72n][43+102n][39+91n][5+13n][27+63n][3+9n][39+93n][45+105n][6+15n][20+48n][29+68n][10+25n][34+80n][18+42n][2+6n][26+62n][30+70n][4+10n][13+32n][34+81n][37+88n][38+89n][12+28n][1+4n][33+77n][4+11n][33+78n][24+57n][23+54n][9+23n][40+95n][38+90n][31+74n][37+87n][18+43n][22+52n][16+38n][15+36n][21+51n][42+99n][25+60n][36+85n][24+58n][42+100n]===[45+106n][26+61n][10+24n][14+34n][28+66n][17+40n][9+21n][1+3n][13+31n][15+35n][2+5n][6+16n][40+94n][18+44n][42+98n][6+14n][2n][39+92n][25+59n][16+39n][35+82n][11+27n][27+65n][43+101n][19+45n][15+37n][41+97n][32+75n][11+26n][8+19n][7+18n][33+79n][44+103n][12+30n][41+96n][12+29n][21+50n][22+53n][36+84n][5+12n][7+17n][14+33n][8+20n][27+64n][23+55n][29+69n][30+71n][24+56n][3+8n][20+47n][9+22n][21+49n][3+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 46 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+107n.

Constatons que 7x46 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107