Calcul de 1/107 en base 8+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 8+107n se regroupent elles en cette série ?

1-8-64-84-30-26-101-59-44-31-34-58-36-74-57-28-10-80-105-91-86-46-47-55-12-96-19-45-39-98-35-66-100-51-87-54-4-32-42-15-13-104-83-22-69-17-29-18-37-82-14-5-40===106-99-43-23-77-81-6-48-63-76-73-49-71-33-50-79-97-27-2-16-21-61-60-52-95-11-88-62-68-9-72-41-7-56-20-53-103-75-65-92-94-3-24-85-38-90-78-89-70-25-93-102-67

Calculons 1/107 en base 8+107n (8, 115, 222, ...) :

1/107 en base 8 = 0,00462174322425420576633407132724736402310761512126102===77315603455352357201144370645053041375467016265651675...

1/107 en base 115 = 0,1-8-68-90-32-27-108-63-47-33-36-62-38-79-61-30-10-85-112-97-92-49-50-59-12-103-20-48-41-105-37-70-107-54-93-58-4-34-45-16-13-111-89-23-74-18-31-19-39-88-15-5-42===113-106-46-24-82-87-6-51-67-81-78-52-76-35-53-84-104-29-2-17-22-65-64-55-102-11-94-66-73-9-77-44-7-60-21-56-110-80-69-98-101-3-25-91-40-96-83-95-75-26-99-109-72...

1/107 en base 222 = 0,2-16-132-174-62-53-209-122-91-64-70-120-74-153-118-58-20-165-217-188-178-95-97-114-24-199-39-93-80-203-72-136-207-105-180-112-8-66-87-31-26-215-172-45-143-35-60-37-76-170-29-10-82===219-205-89-47-159-168-12-99-130-157-151-101-147-68-103-163-201-56-4-33-43-126-124-107-197-22-182-128-141-18-149-85-14-116-41-109-213-155-134-190-195-6-49-176-78-186-161-184-145-51-192-211-139...

Et de manière générale en base 8+107n :

[n][8n][4+64n][6+84n][2+30n][1+26n][7+101n][4+59n][3+44n][2+31n][2+34n][4+58n][2+36n][5+74n][4+57n][2+28n][10n][5+80n][7+105n][6+91n][6+86n][3+46n][3+47n][4+55n][12n][7+96n][1+19n][3+45n][2+39n][7+98n][2+35n][4+66n][7+100n][3+51n][6+87n][4+54n][4n][2+32n][3+42n][1+15n][13n][7+104n][6+83n][1+22n][5+69n][1+17n][2+29n][1+18n][2+37n][6+82n][1+14n][5n][2+40n]===[7+106n][7+99n][3+43n][1+23n][5+77n][6+81n][6n][3+48n][4+63n][5+76n][5+73n][3+49n][5+71n][2+33n][3+50n][5+79n][7+97n][2+27n][2n][1+16n][1+21n][4+61n][4+60n][3+52n][7+95n][11n][6+88n][4+62n][5+68n][9n][5+72n][3+41n][7n][4+56n][1+20n][3+53n][7+103n][5+75n][4+65n][6+92n][7+94n][3n][1+24n][6+85n][2+38n][6+90n][5+78n][6+89n][5+70n][1+25n][6+93n][7+102n][5+67n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 67+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 67+107n. La série est alors :

1-67-102-93-25-70-89-78-90-38-85-24-3-94-92-65-75-103-53-20-56-7-41-72-9-68-62-88-11-95-52-60-61-21-16-2-27-97-79-50-33-71-49-73-76-63-48-6-81-77-23-43-99===106-40-5-14-82-37-18-29-17-69-22-83-104-13-15-42-32-4-54-87-51-100-66-35-98-39-45-19-96-12-55-47-46-86-91-105-80-10-28-57-74-36-58-34-31-44-59-101-26-30-84-64-8

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 8+107n.

Calculons 1/107 en base : 67, 174, 281, ...(67+107n) :

1/107 en base 67 = 0,0-41-63-58-15-43-55-48-56-23-53-15-1-58-57-40-46-64-33-12-35-4-25-45-5-42-38-55-6-59-32-37-38-13-10-1-16-60-49-31-20-44-30-45-47-39-30-3-50-48-14-26-61===66-25-3-8-51-23-11-18-10-43-13-51-65-8-9-26-20-2-33-54-31-62-41-21-61-24-28-11-60-7-34-29-28-53-56-65-50-6-17-35-46-22-36-21-19-27-36-63-16-18-52-40-5...

1/107 en base 174 = 0,1-108-165-151-40-113-144-126-146-61-138-39-4-152-149-105-121-167-86-32-91-11-66-117-14-110-100-143-17-154-84-97-99-34-26-3-43-157-128-81-53-115-79-118-123-102-78-9-131-125-37-69-160===172-65-8-22-133-60-29-47-27-112-35-134-169-21-24-68-52-6-87-141-82-162-107-56-159-63-73-30-156-19-89-76-74-139-147-170-130-16-45-92-120-58-94-55-50-71-95-164-42-48-136-104-13...

1/107 en base 281 = 0,2-175-267-244-65-183-233-204-236-99-223-63-7-246-241-170-196-270-139-52-147-18-107-189-23-178-162-231-28-249-136-157-160-55-42-5-70-254-207-131-86-186-128-191-199-165-126-15-212-202-60-112-259===278-105-13-36-215-97-47-76-44-181-57-217-273-34-39-110-84-10-141-228-133-262-173-91-257-102-118-49-252-31-144-123-120-225-238-275-210-26-73-149-194-94-152-89-81-115-154-265-68-78-220-168-21...

Et de manière générale en base 67+107n :

[n][41+67n][63+102n][58+93n][15+25n][43+70n][55+89n][48+78n][56+90n][23+38n][53+85n][15+24n][1+3n][58+94n][57+92n][40+65n][46+75n][64+103n][33+53n][12+20n][35+56n][4+7n][25+41n][45+72n][5+9n][42+68n][38+62n][55+88n][6+11n][59+95n][32+52n][37+60n][38+61n][13+21n][10+16n][1+2n][16+27n][60+97n][49+79n][31+50n][20+33n][44+71n][30+49n][45+73n][47+76n][39+63n][30+48n][3+6n][50+81n][48+77n][14+23n][26+43n][61+99n]===[66+106n][25+40n][3+5n][8+14n][51+82n][23+37n][11+18n][18+29n][10+17n][43+69n][13+22n][51+83n][65+104n][8+13n][9+15n][26+42n][20+32n][2+4n][33+54n][54+87n][31+51n][62+100n][41+66n][21+35n][61+98n][24+39n][28+45n][11+19n][60+96n][7+12n][34+55n][29+47n][28+46n][53+86n][56+91n][65+105n][50+80n][6+10n][17+28n][35+57n][46+74n][22+36n][36+58n][21+34n][19+31n][27+44n][36+59n][63+101n][16+26n][18+30n][52+84n][40+64n][5+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 67 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 8+107n.

Constatons que 8x67 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107