Calcul de 1/107 en base 15+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 15+107n se regroupent elles en cette série ?

1-15-11-58-14-103-47-63-89-51-16-26-69-72-10-43-3-45-33-67-42-95-34-82-53-46-48-78-100-2-30-22-9-28-99-94-19-71-102-32-52-31-37-20-86-6-90-66-27-84-83-68-57===106-92-96-49-93-4-60-44-18-56-91-81-38-35-97-64-104-62-74-40-65-12-73-25-54-61-59-29-7-105-77-85-98-79-8-13-88-36-5-75-55-76-70-87-21-101-17-41-80-23-24-39-50

Calculons 1/107 en base 15+107n (15, 122, 229, ...) :

1/107 en base 15 = 0,0-2-1-8-1-14-6-8-12-7-2-3-9-10-1-6-0-6-4-9-5-13-4-11-7-6-6-10-14-0-4-3-1-3-13-13-2-9-14-4-7-4-5-2-12-0-12-9-3-11-11-9-7===14-12-13-6-13-0-8-6-2-7-12-11-5-4-13-8-14-8-10-5-9-1-10-3-7-8-8-4-0-14-10-11-13-11-1-1-12-5-0-10-7-10-9-12-2-14-2-5-11-3-3-5-7...

1/107 en base 122 = 0,1-17-12-66-15-117-53-71-101-58-18-29-78-82-11-49-3-51-37-76-47-108-38-93-60-52-54-88-114-2-34-25-10-31-112-107-21-80-116-36-59-35-42-22-98-6-102-75-30-95-94-77-64===120-104-109-55-106-4-68-50-20-63-103-92-43-39-110-72-118-70-84-45-74-13-83-28-61-69-67-33-7-119-87-96-111-90-9-14-100-41-5-85-62-86-79-99-23-115-19-46-91-26-27-44-57...

1/107 en base 229 = 0,2-32-23-124-29-220-100-134-190-109-34-55-147-154-21-92-6-96-70-143-89-203-72-175-113-98-102-166-214-4-64-47-19-59-211-201-40-151-218-68-111-66-79-42-184-12-192-141-57-179-177-145-121===226-196-205-104-199-8-128-94-38-119-194-173-81-74-207-136-222-132-158-85-139-25-156-53-115-130-126-62-14-224-164-181-209-169-17-27-188-77-10-160-117-162-149-186-44-216-36-87-171-49-51-83-107...

Et de manière générale en base 15+107n :

[n][2+15n][1+11n][8+58n][1+14n][14+103n][6+47n][8+63n][12+89n][7+51n][2+16n][3+26n][9+69n][10+72n][1+10n][6+43n][3n][6+45n][4+33n][9+67n][5+42n][13+95n][4+34n][11+82n][7+53n][6+46n][6+48n][10+78n][14+100n][2n][4+30n][3+22n][1+9n][3+28n][13+99n][13+94n][2+19n][9+71n][14+102n][4+32n][7+52n][4+31n][5+37n][2+20n][12+86n][6n][12+90n][9+66n][3+27n][11+84n][11+83n][9+68n][7+57n]===[14+106n][12+92n][13+96n][6+49n][13+93n][4n][8+60n][6+44n][2+18n][7+56n][12+91n][11+81n][5+38n][4+35n][13+97n][8+64n][14+104n][8+62n][10+74n][5+40n][9+65n][1+12n][10+73n][3+25n][7+54n][8+61n][8+59n][4+29n][7n][14+105n][10+77n][11+85n][13+98n][11+79n][1+8n][1+13n][12+88n][5+36n][5n][10+75n][7+55n][10+76n][9+70n][12+87n][2+21n][14+101n][2+17n][5+41n][11+80n][3+23n][3+24n][5+39n][7+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 50+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 50+107n. La série est alors :

1-50-39-24-23-80-41-17-101-21-87-70-76-55-75-5-36-88-13-8-79-98-85-77-105-7-29-59-61-54-25-73-12-65-40-74-62-104-64-97-35-38-81-91-56-18-44-60-4-93-49-96-92===106-57-68-83-84-27-66-90-6-86-20-37-31-52-32-102-71-19-94-99-28-9-22-30-2-100-78-48-46-53-82-34-95-42-67-33-45-3-43-10-72-69-26-16-51-89-63-47-103-14-58-11-15

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 15+107n.

Calculons 1/107 en base : 50, 157, 264, ...(50+107n) :

1/107 en base 50 = 0,0-23-18-11-10-37-19-7-47-9-40-32-35-25-35-2-16-41-6-3-36-45-39-35-49-3-13-27-28-25-11-34-5-30-18-34-28-48-29-45-16-17-37-42-26-8-20-28-1-43-22-44-42===49-26-31-38-39-12-30-42-2-40-9-17-14-24-14-47-33-8-43-46-13-4-10-14-0-46-36-22-21-24-38-15-44-19-31-15-21-1-20-4-33-32-12-7-23-41-29-21-48-6-27-5-7...

1/107 en base 157 = 0,1-73-57-35-33-117-60-24-148-30-127-102-111-80-110-7-52-129-19-11-115-143-124-112-154-10-42-86-89-79-36-107-17-95-58-108-90-152-93-142-51-55-118-133-82-26-64-88-5-136-71-140-134===155-83-99-121-123-39-96-132-8-126-29-54-45-76-46-149-104-27-137-145-41-13-32-44-2-146-114-70-67-77-120-49-139-61-98-48-66-4-63-14-105-101-38-23-74-130-92-68-151-20-85-16-22...

1/107 en base 264 = 0,2-123-96-59-56-197-101-41-249-51-214-172-187-135-185-12-88-217-32-19-194-241-209-189-259-17-71-145-150-133-61-180-29-160-98-182-152-256-157-239-86-93-199-224-138-44-108-148-9-229-120-236-226===261-140-167-204-207-66-162-222-14-212-49-91-76-128-78-251-175-46-231-244-69-22-54-74-4-246-192-118-113-130-202-83-234-103-165-81-111-7-106-24-177-170-64-39-125-219-155-115-254-34-143-27-37...

Et de manière générale en base 50+107n :

[n][23+50n][18+39n][11+24n][10+23n][37+80n][19+41n][7+17n][47+101n][9+21n][40+87n][32+70n][35+76n][25+55n][35+75n][2+5n][16+36n][41+88n][6+13n][3+8n][36+79n][45+98n][39+85n][35+77n][49+105n][3+7n][13+29n][27+59n][28+61n][25+54n][11+25n][34+73n][5+12n][30+65n][18+40n][34+74n][28+62n][48+104n][29+64n][45+97n][16+35n][17+38n][37+81n][42+91n][26+56n][8+18n][20+44n][28+60n][1+4n][43+93n][22+49n][44+96n][42+92n]===[49+106n][26+57n][31+68n][38+83n][39+84n][12+27n][30+66n][42+90n][2+6n][40+86n][9+20n][17+37n][14+31n][24+52n][14+32n][47+102n][33+71n][8+19n][43+94n][46+99n][13+28n][4+9n][10+22n][14+30n][2n][46+100n][36+78n][22+48n][21+46n][24+53n][38+82n][15+34n][44+95n][19+42n][31+67n][15+33n][21+45n][1+3n][20+43n][4+10n][33+72n][32+69n][12+26n][7+16n][23+51n][41+89n][29+63n][21+47n][48+103n][6+14n][27+58n][5+11n][7+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 15+107n.

Constatons que 15x50 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107