Calcul de 1/107 en base 17+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 17+107n se regroupent elles en cette série ?

1-17-75-98-61-74-81-93-83-20-19-2-34-43-89-15-41-55-79-59-40-38-4-68-86-71-30-82-3-51-11-80-76-8-29-65-35-60-57-6-102-22-53-45-16-58-23-70-13-7-12-97-44===106-90-32-9-46-33-26-14-24-87-88-105-73-64-18-92-66-52-28-48-67-69-103-39-21-36-77-25-104-56-96-27-31-99-78-42-72-47-50-101-5-85-54-62-91-49-84-37-94-100-95-10-63

Calculons 1/107 en base 17+107n (17, 124, 231, ...) :

1/107 en base 17 = 0,0-2-11-15-9-11-12-14-13-3-3-0-5-6-14-2-6-8-12-9-6-6-0-10-13-11-4-13-0-8-1-12-12-1-4-10-5-9-9-0-16-3-8-7-2-9-3-11-2-1-1-15-6===16-14-5-1-7-5-4-2-3-13-13-16-11-10-2-14-10-8-4-7-10-10-16-6-3-5-12-3-16-8-15-4-4-15-12-6-11-7-7-16-0-13-8-9-14-7-13-5-14-15-15-1-10...

1/107 en base 124 = 0,1-19-86-113-70-85-93-107-96-23-22-2-39-49-103-17-47-63-91-68-46-44-4-78-99-82-34-95-3-59-12-92-88-9-33-75-40-69-66-6-118-25-61-52-18-67-26-81-15-8-13-112-50===122-104-37-10-53-38-30-16-27-100-101-121-84-74-20-106-76-60-32-55-77-79-119-45-24-41-89-28-120-64-111-31-35-114-90-48-83-54-57-117-5-98-62-71-105-56-97-42-108-115-110-11-73...

1/107 en base 231 = 0,2-36-161-211-131-159-174-200-179-43-41-4-73-92-192-32-88-118-170-127-86-82-8-146-185-153-64-177-6-110-23-172-164-17-62-140-75-129-123-12-220-47-114-97-34-125-49-151-28-15-25-209-94===228-194-69-19-99-71-56-30-51-187-189-226-157-138-38-198-142-112-60-103-144-148-222-84-45-77-166-53-224-120-207-58-66-213-168-90-155-101-107-218-10-183-116-133-196-105-181-79-202-215-205-21-136...

Et de manière générale en base 17+107n :

[n][2+17n][11+75n][15+98n][9+61n][11+74n][12+81n][14+93n][13+83n][3+20n][3+19n][2n][5+34n][6+43n][14+89n][2+15n][6+41n][8+55n][12+79n][9+59n][6+40n][6+38n][4n][10+68n][13+86n][11+71n][4+30n][13+82n][3n][8+51n][1+11n][12+80n][12+76n][1+8n][4+29n][10+65n][5+35n][9+60n][9+57n][6n][16+102n][3+22n][8+53n][7+45n][2+16n][9+58n][3+23n][11+70n][2+13n][1+7n][1+12n][15+97n][6+44n]===[16+106n][14+90n][5+32n][1+9n][7+46n][5+33n][4+26n][2+14n][3+24n][13+87n][13+88n][16+105n][11+73n][10+64n][2+18n][14+92n][10+66n][8+52n][4+28n][7+48n][10+67n][10+69n][16+103n][6+39n][3+21n][5+36n][12+77n][3+25n][16+104n][8+56n][15+96n][4+27n][4+31n][15+99n][12+78n][6+42n][11+72n][7+47n][7+50n][16+101n][5n][13+85n][8+54n][9+62n][14+91n][7+49n][13+84n][5+37n][14+94n][15+100n][15+95n][1+10n][10+63n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 17 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 63+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 63+107n. La série est alors :

1-63-10-95-100-94-37-84-49-91-62-54-85-5-101-50-47-72-42-78-99-31-27-96-56-104-25-77-36-21-39-103-69-67-48-28-52-66-92-18-64-73-105-88-87-24-14-26-33-46-9-32-90===106-44-97-12-7-13-70-23-58-16-45-53-22-102-6-57-60-35-65-29-8-76-80-11-51-3-82-30-71-86-68-4-38-40-59-79-55-41-15-89-43-34-2-19-20-83-93-81-74-61-98-75-17

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 17+107n.

Calculons 1/107 en base : 63, 170, 277, ...(63+107n) :

1/107 en base 63 = 0,0-37-5-55-58-55-21-49-28-53-36-31-50-2-59-29-27-42-24-45-58-18-15-56-32-61-14-45-21-12-22-60-40-39-28-16-30-38-54-10-37-42-61-51-51-14-8-15-19-27-5-18-52===62-25-57-7-4-7-41-13-34-9-26-31-12-60-3-33-35-20-38-17-4-44-47-6-30-1-48-17-41-50-40-2-22-23-34-46-32-24-8-52-25-20-1-11-11-48-54-47-43-35-57-44-10...

1/107 en base 170 = 0,1-100-15-150-158-149-58-133-77-144-98-85-135-7-160-79-74-114-66-123-157-49-42-152-88-165-39-122-57-33-61-163-109-106-76-44-82-104-146-28-101-115-166-139-138-38-22-41-52-73-14-50-142===168-69-154-19-11-20-111-36-92-25-71-84-34-162-9-90-95-55-103-46-12-120-127-17-81-4-130-47-112-136-108-6-60-63-93-125-87-65-23-141-68-54-3-30-31-131-147-128-117-96-155-119-27...

1/107 en base 277 = 0,2-163-25-245-258-243-95-217-126-235-160-139-220-12-261-129-121-186-108-201-256-80-69-248-144-269-64-199-93-54-100-266-178-173-124-72-134-170-238-46-165-188-271-227-225-62-36-67-85-119-23-82-232===274-113-251-31-18-33-181-59-150-41-116-137-56-264-15-147-155-90-168-75-20-196-207-28-132-7-212-77-183-222-176-10-98-103-152-204-142-106-38-230-111-88-5-49-51-214-240-209-191-157-253-194-44...

Et de manière générale en base 63+107n :

[n][37+63n][5+10n][55+95n][58+100n][55+94n][21+37n][49+84n][28+49n][53+91n][36+62n][31+54n][50+85n][2+5n][59+101n][29+50n][27+47n][42+72n][24+42n][45+78n][58+99n][18+31n][15+27n][56+96n][32+56n][61+104n][14+25n][45+77n][21+36n][12+21n][22+39n][60+103n][40+69n][39+67n][28+48n][16+28n][30+52n][38+66n][54+92n][10+18n][37+64n][42+73n][61+105n][51+88n][51+87n][14+24n][8+14n][15+26n][19+33n][27+46n][5+9n][18+32n][52+90n]===[62+106n][25+44n][57+97n][7+12n][4+7n][7+13n][41+70n][13+23n][34+58n][9+16n][26+45n][31+53n][12+22n][60+102n][3+6n][33+57n][35+60n][20+35n][38+65n][17+29n][4+8n][44+76n][47+80n][6+11n][30+51n][1+3n][48+82n][17+30n][41+71n][50+86n][40+68n][2+4n][22+38n][23+40n][34+59n][46+79n][32+55n][24+41n][8+15n][52+89n][25+43n][20+34n][1+2n][11+19n][11+20n][48+83n][54+93n][47+81n][43+74n][35+61n][57+98n][44+75n][10+17n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 63 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 17+107n.

Constatons que 17x63 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107