Calcul de 1/107 en base 20+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 20+107n se regroupent elles en cette série ?

1-20-79-82-35-58-90-88-48-104-47-84-75-2-40-51-57-70-9-73-69-96-101-94-61-43-4-80-102-7-33-18-39-31-85-95-81-15-86-8-53-97-14-66-36-78-62-63-83-55-30-65-16===106-87-28-25-72-49-17-19-59-3-60-23-32-105-67-56-50-37-98-34-38-11-6-13-46-64-103-27-5-100-74-89-68-76-22-12-26-92-21-99-54-10-93-41-71-29-45-44-24-52-77-42-91

Calculons 1/107 en base 20+107n (20, 127, 234, ...) :

1/107 en base 20 = 0,0-3-14-15-6-10-16-16-8-19-8-15-14-0-7-9-10-13-1-13-12-17-18-17-11-8-0-14-19-1-6-3-7-5-15-17-15-2-16-1-9-18-2-12-6-14-11-11-15-10-5-12-2===19-16-5-4-13-9-3-3-11-0-11-4-5-19-12-10-9-6-18-6-7-2-1-2-8-11-19-5-0-18-13-16-12-14-4-2-4-17-3-18-10-1-17-7-13-5-8-8-4-9-14-7-17...

1/107 en base 127 = 0,1-23-93-97-41-68-106-104-56-123-55-99-89-2-47-60-67-83-10-86-81-113-119-111-72-51-4-94-121-8-39-21-46-36-100-112-96-17-102-9-62-115-16-78-42-92-73-74-98-65-35-77-18===125-103-33-29-85-58-20-22-70-3-71-27-37-124-79-66-59-43-116-40-45-13-7-15-54-75-122-32-5-118-87-105-80-90-26-14-30-109-24-117-64-11-110-48-84-34-53-52-28-61-91-49-108...

1/107 en base 234 = 0,2-43-172-179-76-126-196-192-104-227-102-183-164-4-87-111-124-153-19-159-150-209-220-205-133-94-8-174-223-15-72-39-85-67-185-207-177-32-188-17-115-212-30-144-78-170-135-137-181-120-65-142-34===231-190-61-54-157-107-37-41-129-6-131-50-69-229-146-122-109-80-214-74-83-24-13-28-100-139-225-59-10-218-161-194-148-166-48-26-56-201-45-216-118-21-203-89-155-63-98-96-52-113-168-91-199...

Et de manière générale en base 20+107n :

[n][3+20n][14+79n][15+82n][6+35n][10+58n][16+90n][16+88n][8+48n][19+104n][8+47n][15+84n][14+75n][2n][7+40n][9+51n][10+57n][13+70n][1+9n][13+73n][12+69n][17+96n][18+101n][17+94n][11+61n][8+43n][4n][14+80n][19+102n][1+7n][6+33n][3+18n][7+39n][5+31n][15+85n][17+95n][15+81n][2+15n][16+86n][1+8n][9+53n][18+97n][2+14n][12+66n][6+36n][14+78n][11+62n][11+63n][15+83n][10+55n][5+30n][12+65n][2+16n]===[19+106n][16+87n][5+28n][4+25n][13+72n][9+49n][3+17n][3+19n][11+59n][3n][11+60n][4+23n][5+32n][19+105n][12+67n][10+56n][9+50n][6+37n][18+98n][6+34n][7+38n][2+11n][1+6n][2+13n][8+46n][11+64n][19+103n][5+27n][5n][18+100n][13+74n][16+89n][12+68n][14+76n][4+22n][2+12n][4+26n][17+92n][3+21n][18+99n][10+54n][1+10n][17+93n][7+41n][13+71n][5+29n][8+45n][8+44n][4+24n][9+52n][14+77n][7+42n][17+91n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 91+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 91+107n. La série est alors :

1-91-42-77-52-24-44-45-29-71-41-93-10-54-99-21-92-26-12-22-76-68-89-74-100-5-27-103-64-46-13-6-11-38-34-98-37-50-56-67-105-32-23-60-3-59-19-17-49-72-25-28-87===106-16-65-30-55-83-63-62-78-36-66-14-97-53-8-86-15-81-95-85-31-39-18-33-7-102-80-4-43-61-94-101-96-69-73-9-70-57-51-40-2-75-84-47-104-48-88-90-58-35-82-79-20

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 20+107n.

Calculons 1/107 en base : 91, 198, 305, ...(91+107n) :

1/107 en base 91 = 0,0-77-35-65-44-20-37-38-24-60-34-79-8-45-84-17-78-22-10-18-64-57-75-62-85-4-22-87-54-39-11-5-9-32-28-83-31-42-47-56-89-27-19-51-2-50-16-14-41-61-21-23-73===90-13-55-25-46-70-53-52-66-30-56-11-82-45-6-73-12-68-80-72-26-33-15-28-5-86-68-3-36-51-79-85-81-58-62-7-59-48-43-34-1-63-71-39-88-40-74-76-49-29-69-67-17...

1/107 en base 198 = 0,1-168-77-142-96-44-81-83-53-131-75-172-18-99-183-38-170-48-22-40-140-125-164-136-185-9-49-190-118-85-24-11-20-70-62-181-68-92-103-123-194-59-42-111-5-109-35-31-90-133-46-51-160===196-29-120-55-101-153-116-114-144-66-122-25-179-98-14-159-27-149-175-157-57-72-33-61-12-188-148-7-79-112-173-186-177-127-135-16-129-105-94-74-3-138-155-86-192-88-162-166-107-64-151-146-37...

1/107 en base 305 = 0,2-259-119-219-148-68-125-128-82-202-116-265-28-153-282-59-262-74-34-62-216-193-253-210-285-14-76-293-182-131-37-17-31-108-96-279-105-142-159-190-299-91-65-171-8-168-54-48-139-205-71-79-247===302-45-185-85-156-236-179-176-222-102-188-39-276-151-22-245-42-230-270-242-88-111-51-94-19-290-228-11-122-173-267-287-273-196-208-25-199-162-145-114-5-213-239-133-296-136-250-256-165-99-233-225-57...

Et de manière générale en base 91+107n :

[n][77+91n][35+42n][65+77n][44+52n][20+24n][37+44n][38+45n][24+29n][60+71n][34+41n][79+93n][8+10n][45+54n][84+99n][17+21n][78+92n][22+26n][10+12n][18+22n][64+76n][57+68n][75+89n][62+74n][85+100n][4+5n][22+27n][87+103n][54+64n][39+46n][11+13n][5+6n][9+11n][32+38n][28+34n][83+98n][31+37n][42+50n][47+56n][56+67n][89+105n][27+32n][19+23n][51+60n][2+3n][50+59n][16+19n][14+17n][41+49n][61+72n][21+25n][23+28n][73+87n]===[90+106n][13+16n][55+65n][25+30n][46+55n][70+83n][53+63n][52+62n][66+78n][30+36n][56+66n][11+14n][82+97n][45+53n][6+8n][73+86n][12+15n][68+81n][80+95n][72+85n][26+31n][33+39n][15+18n][28+33n][5+7n][86+102n][68+80n][3+4n][36+43n][51+61n][79+94n][85+101n][81+96n][58+69n][62+73n][7+9n][59+70n][48+57n][43+51n][34+40n][1+2n][63+75n][71+84n][39+47n][88+104n][40+48n][74+88n][76+90n][49+58n][29+35n][69+82n][67+79n][17+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 91 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 20+107n.

Constatons que 20x91 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107