Calcul de 1/107 en base 21+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 21+107n se regroupent elles en cette série ?

1-21-13-59-62-18-57-20-99-46-3-63-39-70-79-54-64-60-83-31-9-82-10-103-23-55-85-73-35-93-27-32-30-95-69-58-41-5-105-65-81-96-90-71-100-67-16-15-101-88-29-74-56===106-86-94-48-45-89-50-87-8-61-104-44-68-37-28-53-43-47-24-76-98-25-97-4-84-52-22-34-72-14-80-75-77-12-38-49-66-102-2-42-26-11-17-36-7-40-91-92-6-19-78-33-51

Calculons 1/107 en base 21+107n (21, 128, 235, ...) :

1/107 en base 21 = 0,0-4-2-11-12-3-11-3-19-9-0-12-7-13-15-10-12-11-16-6-1-16-1-20-4-10-16-14-6-18-5-6-5-18-13-11-8-0-20-12-15-18-17-13-19-13-3-2-19-17-5-14-10===20-16-18-9-8-17-9-17-1-11-20-8-13-7-5-10-8-9-4-14-19-4-19-0-16-10-4-6-14-2-15-14-15-2-7-9-12-20-0-8-5-2-3-7-1-7-17-18-1-3-15-6-10...

1/107 en base 128 = 0,1-25-15-70-74-21-68-23-118-55-3-75-46-83-94-64-76-71-99-37-10-98-11-123-27-65-101-87-41-111-32-38-35-113-82-69-49-5-125-77-96-114-107-84-119-80-19-17-120-105-34-88-66===126-102-112-57-53-106-59-104-9-72-124-52-81-44-33-63-51-56-28-90-117-29-116-4-100-62-26-40-86-16-95-89-92-14-45-58-78-122-2-50-31-13-20-43-8-47-108-110-7-22-93-39-61...

1/107 en base 235 = 0,2-46-28-129-136-39-125-43-217-101-6-138-85-153-173-118-140-131-182-68-19-180-21-226-50-120-186-160-76-204-59-70-65-208-151-127-90-10-230-142-177-210-197-155-219-147-35-32-221-193-63-162-122===232-188-206-105-98-195-109-191-17-133-228-96-149-81-61-116-94-103-52-166-215-54-213-8-184-114-48-74-158-30-175-164-169-26-83-107-144-224-4-92-57-24-37-79-15-87-199-202-13-41-171-72-112...

Et de manière générale en base 21+107n :

[n][4+21n][2+13n][11+59n][12+62n][3+18n][11+57n][3+20n][19+99n][9+46n][3n][12+63n][7+39n][13+70n][15+79n][10+54n][12+64n][11+60n][16+83n][6+31n][1+9n][16+82n][1+10n][20+103n][4+23n][10+55n][16+85n][14+73n][6+35n][18+93n][5+27n][6+32n][5+30n][18+95n][13+69n][11+58n][8+41n][5n][20+105n][12+65n][15+81n][18+96n][17+90n][13+71n][19+100n][13+67n][3+16n][2+15n][19+101n][17+88n][5+29n][14+74n][10+56n]===[20+106n][16+86n][18+94n][9+48n][8+45n][17+89n][9+50n][17+87n][1+8n][11+61n][20+104n][8+44n][13+68n][7+37n][5+28n][10+53n][8+43n][9+47n][4+24n][14+76n][19+98n][4+25n][19+97n][4n][16+84n][10+52n][4+22n][6+34n][14+72n][2+14n][15+80n][14+75n][15+77n][2+12n][7+38n][9+49n][12+66n][20+102n][2n][8+42n][5+26n][2+11n][3+17n][7+36n][1+7n][7+40n][17+91n][18+92n][1+6n][3+19n][15+78n][6+33n][10+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 51+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 51+107n. La série est alors :

1-51-33-78-19-6-92-91-40-7-36-17-11-26-42-2-102-66-49-38-12-77-75-80-14-72-34-22-52-84-4-97-25-98-76-24-47-43-53-28-37-68-44-104-61-8-87-50-89-45-48-94-86===106-56-74-29-88-101-15-16-67-100-71-90-96-81-65-105-5-41-58-69-95-30-32-27-93-35-73-85-55-23-103-10-82-9-31-83-60-64-54-79-70-39-63-3-46-99-20-57-18-62-59-13-21

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 21+107n.

Calculons 1/107 en base : 51, 158, 265, ...(51+107n) :

1/107 en base 51 = 0,0-24-15-37-9-2-43-43-19-3-17-8-5-12-20-0-48-31-23-18-5-36-35-38-6-34-16-10-24-40-1-46-11-46-36-11-22-20-25-13-17-32-20-49-29-3-41-23-42-21-22-44-40===50-26-35-13-41-48-7-7-31-47-33-42-45-38-30-50-2-19-27-32-45-14-15-12-44-16-34-40-26-10-49-4-39-4-14-39-28-30-25-37-33-18-30-1-21-47-9-27-8-29-28-6-10...

1/107 en base 158 = 0,1-75-48-115-28-8-135-134-59-10-53-25-16-38-62-2-150-97-72-56-17-113-110-118-20-106-50-32-76-124-5-143-36-144-112-35-69-63-78-41-54-100-64-153-90-11-128-73-131-66-70-138-126===156-82-109-42-129-149-22-23-98-147-104-132-141-119-95-155-7-60-85-101-140-44-47-39-137-51-107-125-81-33-152-14-121-13-45-122-88-94-79-116-103-57-93-4-67-146-29-84-26-91-87-19-31...

1/107 en base 265 = 0,2-126-81-193-47-14-227-225-99-17-89-42-27-64-104-4-252-163-121-94-29-190-185-198-34-178-84-54-128-208-9-240-61-242-188-59-116-106-131-69-91-168-108-257-151-19-215-123-220-111-118-232-212===262-138-183-71-217-250-37-39-165-247-175-222-237-200-160-260-12-101-143-170-235-74-79-66-230-86-180-210-136-56-255-24-203-22-76-205-148-158-133-195-173-96-156-7-113-245-49-141-44-153-146-32-52...

Et de manière générale en base 51+107n :

[n][24+51n][15+33n][37+78n][9+19n][2+6n][43+92n][43+91n][19+40n][3+7n][17+36n][8+17n][5+11n][12+26n][20+42n][2n][48+102n][31+66n][23+49n][18+38n][5+12n][36+77n][35+75n][38+80n][6+14n][34+72n][16+34n][10+22n][24+52n][40+84n][1+4n][46+97n][11+25n][46+98n][36+76n][11+24n][22+47n][20+43n][25+53n][13+28n][17+37n][32+68n][20+44n][49+104n][29+61n][3+8n][41+87n][23+50n][42+89n][21+45n][22+48n][44+94n][40+86n]===[50+106n][26+56n][35+74n][13+29n][41+88n][48+101n][7+15n][7+16n][31+67n][47+100n][33+71n][42+90n][45+96n][38+81n][30+65n][50+105n][2+5n][19+41n][27+58n][32+69n][45+95n][14+30n][15+32n][12+27n][44+93n][16+35n][34+73n][40+85n][26+55n][10+23n][49+103n][4+10n][39+82n][4+9n][14+31n][39+83n][28+60n][30+64n][25+54n][37+79n][33+70n][18+39n][30+63n][1+3n][21+46n][47+99n][9+20n][27+57n][8+18n][29+62n][28+59n][6+13n][10+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 21+107n.

Constatons que 21x51 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107