Calcul de 1/107 en base 22+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 22+107n se regroupent elles en cette série ?

1-22-56-55-33-84-29-103-19-97-101-82-92-98-16-31-40-24-100-60-36-43-90-54-11-28-81-70-42-68-105-63-102-104-41-46-49-8-69-20-12-50-30-18-75-45-27-59-14-94-35-21-34===106-85-51-52-74-23-78-4-88-10-6-25-15-9-91-76-67-83-7-47-71-64-17-53-96-79-26-37-65-39-2-44-5-3-66-61-58-99-38-87-95-57-77-89-32-62-80-48-93-13-72-86-73

Calculons 1/107 en base 22+107n (22, 129, 236, ...) :

1/107 en base 22 = 0,0-4-11-11-6-17-5-21-3-19-20-16-18-20-3-6-8-4-20-12-7-8-18-11-2-5-16-14-8-13-21-12-20-21-8-9-10-1-14-4-2-10-6-3-15-9-5-12-2-19-7-4-6===21-17-10-10-15-4-16-0-18-2-1-5-3-1-18-15-13-17-1-9-14-13-3-10-19-16-5-7-13-8-0-9-1-0-13-12-11-20-7-17-19-11-15-18-6-12-16-9-19-2-14-17-15...

1/107 en base 129 = 0,1-26-67-66-39-101-34-124-22-116-121-98-110-118-19-37-48-28-120-72-43-51-108-65-13-33-97-84-50-81-126-75-122-125-49-55-59-9-83-24-14-60-36-21-90-54-32-71-16-113-42-25-40===127-102-61-62-89-27-94-4-106-12-7-30-18-10-109-91-80-100-8-56-85-77-20-63-115-95-31-44-78-47-2-53-6-3-79-73-69-119-45-104-114-68-92-107-38-74-96-57-112-15-86-103-88...

1/107 en base 236 = 0,2-48-123-121-72-185-63-227-41-213-222-180-202-216-35-68-88-52-220-132-79-94-198-119-24-61-178-154-92-149-231-138-224-229-90-101-108-17-152-44-26-110-66-39-165-99-59-130-30-207-77-46-74===233-187-112-114-163-50-172-8-194-22-13-55-33-19-200-167-147-183-15-103-156-141-37-116-211-174-57-81-143-86-4-97-11-6-145-134-127-218-83-191-209-125-169-196-70-136-176-105-205-28-158-189-161...

Et de manière générale en base 22+107n :

[n][4+22n][11+56n][11+55n][6+33n][17+84n][5+29n][21+103n][3+19n][19+97n][20+101n][16+82n][18+92n][20+98n][3+16n][6+31n][8+40n][4+24n][20+100n][12+60n][7+36n][8+43n][18+90n][11+54n][2+11n][5+28n][16+81n][14+70n][8+42n][13+68n][21+105n][12+63n][20+102n][21+104n][8+41n][9+46n][10+49n][1+8n][14+69n][4+20n][2+12n][10+50n][6+30n][3+18n][15+75n][9+45n][5+27n][12+59n][2+14n][19+94n][7+35n][4+21n][6+34n]===[21+106n][17+85n][10+51n][10+52n][15+74n][4+23n][16+78n][4n][18+88n][2+10n][1+6n][5+25n][3+15n][1+9n][18+91n][15+76n][13+67n][17+83n][1+7n][9+47n][14+71n][13+64n][3+17n][10+53n][19+96n][16+79n][5+26n][7+37n][13+65n][8+39n][2n][9+44n][1+5n][3n][13+66n][12+61n][11+58n][20+99n][7+38n][17+87n][19+95n][11+57n][15+77n][18+89n][6+32n][12+62n][16+80n][9+48n][19+93n][2+13n][14+72n][17+86n][15+73n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 73+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 73+107n. La série est alors :

1-73-86-72-13-93-48-80-62-32-89-77-57-95-87-38-99-58-61-66-3-5-44-2-39-65-37-26-79-96-53-17-64-71-47-7-83-67-76-91-9-15-25-6-10-88-4-78-23-74-52-51-85===106-34-21-35-94-14-59-27-45-75-18-30-50-12-20-69-8-49-46-41-104-102-63-105-68-42-70-81-28-11-54-90-43-36-60-100-24-40-31-16-98-92-82-101-97-19-103-29-84-33-55-56-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+107n.

Calculons 1/107 en base : 73, 180, 287, ...(73+107n) :

1/107 en base 73 = 0,0-49-58-49-8-63-32-54-42-21-60-52-38-64-59-25-67-39-41-45-2-3-30-1-26-44-25-17-53-65-36-11-43-48-32-4-56-45-51-62-6-10-17-4-6-60-2-53-15-50-35-34-57===72-23-14-23-64-9-40-18-30-51-12-20-34-8-13-47-5-33-31-27-70-69-42-71-46-28-47-55-19-7-36-61-29-24-40-68-16-27-21-10-66-62-55-68-66-12-70-19-57-22-37-38-15...

1/107 en base 180 = 0,1-122-144-121-21-156-80-134-104-53-149-129-95-159-146-63-166-97-102-111-5-8-74-3-65-109-62-43-132-161-89-28-107-119-79-11-139-112-127-153-15-25-42-10-16-148-6-131-38-124-87-85-142===178-57-35-58-158-23-99-45-75-126-30-50-84-20-33-116-13-82-77-68-174-171-105-176-114-70-117-136-47-18-90-151-72-60-100-168-40-67-52-26-164-154-137-169-163-31-173-48-141-55-92-94-37...

1/107 en base 287 = 0,2-195-230-193-34-249-128-214-166-85-238-206-152-254-233-101-265-155-163-177-8-13-118-5-104-174-99-69-211-257-142-45-171-190-126-18-222-179-203-244-24-40-67-16-26-236-10-209-61-198-139-136-227===284-91-56-93-252-37-158-72-120-201-48-80-134-32-53-185-21-131-123-109-278-273-168-281-182-112-187-217-75-29-144-241-115-96-160-268-64-107-83-42-262-246-219-270-260-50-276-77-225-88-147-150-59...

Et de manière générale en base 73+107n :

[n][49+73n][58+86n][49+72n][8+13n][63+93n][32+48n][54+80n][42+62n][21+32n][60+89n][52+77n][38+57n][64+95n][59+87n][25+38n][67+99n][39+58n][41+61n][45+66n][2+3n][3+5n][30+44n][1+2n][26+39n][44+65n][25+37n][17+26n][53+79n][65+96n][36+53n][11+17n][43+64n][48+71n][32+47n][4+7n][56+83n][45+67n][51+76n][62+91n][6+9n][10+15n][17+25n][4+6n][6+10n][60+88n][2+4n][53+78n][15+23n][50+74n][35+52n][34+51n][57+85n]===[72+106n][23+34n][14+21n][23+35n][64+94n][9+14n][40+59n][18+27n][30+45n][51+75n][12+18n][20+30n][34+50n][8+12n][13+20n][47+69n][5+8n][33+49n][31+46n][27+41n][70+104n][69+102n][42+63n][71+105n][46+68n][28+42n][47+70n][55+81n][19+28n][7+11n][36+54n][61+90n][29+43n][24+36n][40+60n][68+100n][16+24n][27+40n][21+31n][10+16n][66+98n][62+92n][55+82n][68+101n][66+97n][12+19n][70+103n][19+29n][57+84n][22+33n][37+55n][38+56n][15+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 73 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+107n.

Constatons que 22x73 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107