Calcul de 1/107 en base 24+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 24+107n se regroupent elles en cette série ?

1-24-41-21-76-5-13-98-105-59-25-65-62-97-81-18-4-96-57-84-90-20-52-71-99-22-100-46-34-67-3-72-16-63-14-15-39-80-101-70-75-88-79-77-29-54-12-74-64-38-56-60-49===106-83-66-86-31-102-94-9-2-48-82-42-45-10-26-89-103-11-50-23-17-87-55-36-8-85-7-61-73-40-104-35-91-44-93-92-68-27-6-37-32-19-28-30-78-53-95-33-43-69-51-47-58

Calculons 1/107 en base 24+107n (24, 131, 238, ...) :

1/107 en base 24 = 0,0-5-9-4-17-1-2-21-23-13-5-14-13-21-18-4-0-21-12-18-20-4-11-15-22-4-22-10-7-15-0-16-3-14-3-3-8-17-22-15-16-19-17-17-6-12-2-16-14-8-12-13-10===23-18-14-19-6-22-21-2-0-10-18-9-10-2-5-19-23-2-11-5-3-19-12-8-1-19-1-13-16-8-23-7-20-9-20-20-15-6-1-8-7-4-6-6-17-11-21-7-9-15-11-10-13...

1/107 en base 131 = 0,1-29-50-25-93-6-15-119-128-72-30-79-75-118-99-22-4-117-69-102-110-24-63-86-121-26-122-56-41-82-3-88-19-77-17-18-47-97-123-85-91-107-96-94-35-66-14-90-78-46-68-73-59===129-101-80-105-37-124-115-11-2-58-100-51-55-12-31-108-126-13-61-28-20-106-67-44-9-104-8-74-89-48-127-42-111-53-113-112-83-33-7-45-39-23-34-36-95-64-116-40-52-84-62-57-71...

1/107 en base 238 = 0,2-53-91-46-169-11-28-217-233-131-55-144-137-215-180-40-8-213-126-186-200-44-115-157-220-48-222-102-75-149-6-160-35-140-31-33-86-177-224-155-166-195-175-171-64-120-26-164-142-84-124-133-108===235-184-146-191-68-226-209-20-4-106-182-93-100-22-57-197-229-24-111-51-37-193-122-80-17-189-15-135-162-88-231-77-202-97-206-204-151-60-13-82-71-42-62-66-173-117-211-73-95-153-113-104-129...

Et de manière générale en base 24+107n :

[n][5+24n][9+41n][4+21n][17+76n][1+5n][2+13n][21+98n][23+105n][13+59n][5+25n][14+65n][13+62n][21+97n][18+81n][4+18n][4n][21+96n][12+57n][18+84n][20+90n][4+20n][11+52n][15+71n][22+99n][4+22n][22+100n][10+46n][7+34n][15+67n][3n][16+72n][3+16n][14+63n][3+14n][3+15n][8+39n][17+80n][22+101n][15+70n][16+75n][19+88n][17+79n][17+77n][6+29n][12+54n][2+12n][16+74n][14+64n][8+38n][12+56n][13+60n][10+49n]===[23+106n][18+83n][14+66n][19+86n][6+31n][22+102n][21+94n][2+9n][2n][10+48n][18+82n][9+42n][10+45n][2+10n][5+26n][19+89n][23+103n][2+11n][11+50n][5+23n][3+17n][19+87n][12+55n][8+36n][1+8n][19+85n][1+7n][13+61n][16+73n][8+40n][23+104n][7+35n][20+91n][9+44n][20+93n][20+92n][15+68n][6+27n][1+6n][8+37n][7+32n][4+19n][6+28n][6+30n][17+78n][11+53n][21+95n][7+33n][9+43n][15+69n][11+51n][10+47n][13+58n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 58+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 58+107n. La série est alors :

1-58-47-51-69-43-33-95-53-78-30-28-19-32-37-6-27-68-92-93-44-91-35-104-40-73-61-7-85-8-36-55-87-17-23-50-11-103-89-26-10-45-42-82-48-2-9-94-102-31-86-66-83===106-49-60-56-38-64-74-12-54-29-77-79-88-75-70-101-80-39-15-14-63-16-72-3-67-34-46-100-22-99-71-52-20-90-84-57-96-4-18-81-97-62-65-25-59-105-98-13-5-76-21-41-24

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 24+107n.

Calculons 1/107 en base : 58, 165, 272, ...(58+107n) :

1/107 en base 58 = 0,0-31-25-27-37-23-17-51-28-42-16-15-10-17-20-3-14-36-49-50-23-49-18-56-21-39-33-3-46-4-19-29-47-9-12-27-5-55-48-14-5-24-22-44-26-1-4-50-55-16-46-35-44===57-26-32-30-20-34-40-6-29-15-41-42-47-40-37-54-43-21-8-7-34-8-39-1-36-18-24-54-11-53-38-28-10-48-45-30-52-2-9-43-52-33-35-13-31-56-53-7-2-41-11-22-13...

1/107 en base 165 = 0,1-89-72-78-106-66-50-146-81-120-46-43-29-49-57-9-41-104-141-143-67-140-53-160-61-112-94-10-131-12-55-84-134-26-35-77-16-158-137-40-15-69-64-126-74-3-13-144-157-47-132-101-127===163-75-92-86-58-98-114-18-83-44-118-121-135-115-107-155-123-60-23-21-97-24-111-4-103-52-70-154-33-152-109-80-30-138-129-87-148-6-27-124-149-95-100-38-90-161-151-20-7-117-32-63-37...

1/107 en base 272 = 0,2-147-119-129-175-109-83-241-134-198-76-71-48-81-94-15-68-172-233-236-111-231-88-264-101-185-155-17-216-20-91-139-221-43-58-127-27-261-226-66-25-114-106-208-122-5-22-238-259-78-218-167-210===269-124-152-142-96-162-188-30-137-73-195-200-223-190-177-256-203-99-38-35-160-40-183-7-170-86-116-254-55-251-180-132-50-228-213-144-244-10-45-205-246-157-165-63-149-266-249-33-12-193-53-104-61...

Et de manière générale en base 58+107n :

[n][31+58n][25+47n][27+51n][37+69n][23+43n][17+33n][51+95n][28+53n][42+78n][16+30n][15+28n][10+19n][17+32n][20+37n][3+6n][14+27n][36+68n][49+92n][50+93n][23+44n][49+91n][18+35n][56+104n][21+40n][39+73n][33+61n][3+7n][46+85n][4+8n][19+36n][29+55n][47+87n][9+17n][12+23n][27+50n][5+11n][55+103n][48+89n][14+26n][5+10n][24+45n][22+42n][44+82n][26+48n][1+2n][4+9n][50+94n][55+102n][16+31n][46+86n][35+66n][44+83n]===[57+106n][26+49n][32+60n][30+56n][20+38n][34+64n][40+74n][6+12n][29+54n][15+29n][41+77n][42+79n][47+88n][40+75n][37+70n][54+101n][43+80n][21+39n][8+15n][7+14n][34+63n][8+16n][39+72n][1+3n][36+67n][18+34n][24+46n][54+100n][11+22n][53+99n][38+71n][28+52n][10+20n][48+90n][45+84n][30+57n][52+96n][2+4n][9+18n][43+81n][52+97n][33+62n][35+65n][13+25n][31+59n][56+105n][53+98n][7+13n][2+5n][41+76n][11+21n][22+41n][13+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 58 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 24+107n.

Constatons que 24x58 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107