Calcul de 1/107 en base 26+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 26+107n se regroupent elles en cette série ?

1-26-34-28-86-96-35-54-13-17-14-43-48-71-27-60-62-7-75-24-89-67-30-31-57-91-12-98-87-15-69-82-99-6-49-97-61-88-41-103-3-78-102-84-44-74-105-55-39-51-42-22-37===106-81-73-79-21-11-72-53-94-90-93-64-59-36-80-47-45-100-32-83-18-40-77-76-50-16-95-9-20-92-38-25-8-101-58-10-46-19-66-4-104-29-5-23-63-33-2-52-68-56-65-85-70

Calculons 1/107 en base 26+107n (26, 133, 240, ...) :

1/107 en base 26 = 0,0-6-8-6-20-23-8-13-3-4-3-10-11-17-6-14-15-1-18-5-21-16-7-7-13-22-2-23-21-3-16-19-24-1-11-23-14-21-9-25-0-18-24-20-10-17-25-13-9-12-10-5-8===25-19-17-19-5-2-17-12-22-21-22-15-14-8-19-11-10-24-7-20-4-9-18-18-12-3-23-2-4-22-9-6-1-24-14-2-11-4-16-0-25-7-1-5-15-8-0-12-16-13-15-20-17...

1/107 en base 133 = 0,1-32-42-34-106-119-43-67-16-21-17-53-59-88-33-74-77-8-93-29-110-83-37-38-70-113-14-121-108-18-85-101-123-7-60-120-75-109-50-128-3-96-126-104-54-91-130-68-48-63-52-27-45===131-100-90-98-26-13-89-65-116-111-115-79-73-44-99-58-55-124-39-103-22-49-95-94-62-19-118-11-24-114-47-31-9-125-72-12-57-23-82-4-129-36-6-28-78-41-2-64-84-69-80-105-87...

1/107 en base 240 = 0,2-58-76-62-192-215-78-121-29-38-31-96-107-159-60-134-139-15-168-53-199-150-67-69-127-204-26-219-195-33-154-183-222-13-109-217-136-197-91-231-6-174-228-188-98-165-235-123-87-114-94-49-82===237-181-163-177-47-24-161-118-210-201-208-143-132-80-179-105-100-224-71-186-40-89-172-170-112-35-213-20-44-206-85-56-17-226-130-22-103-42-148-8-233-65-11-51-141-74-4-116-152-125-145-190-157...

Et de manière générale en base 26+107n :

[n][6+26n][8+34n][6+28n][20+86n][23+96n][8+35n][13+54n][3+13n][4+17n][3+14n][10+43n][11+48n][17+71n][6+27n][14+60n][15+62n][1+7n][18+75n][5+24n][21+89n][16+67n][7+30n][7+31n][13+57n][22+91n][2+12n][23+98n][21+87n][3+15n][16+69n][19+82n][24+99n][1+6n][11+49n][23+97n][14+61n][21+88n][9+41n][25+103n][3n][18+78n][24+102n][20+84n][10+44n][17+74n][25+105n][13+55n][9+39n][12+51n][10+42n][5+22n][8+37n]===[25+106n][19+81n][17+73n][19+79n][5+21n][2+11n][17+72n][12+53n][22+94n][21+90n][22+93n][15+64n][14+59n][8+36n][19+80n][11+47n][10+45n][24+100n][7+32n][20+83n][4+18n][9+40n][18+77n][18+76n][12+50n][3+16n][23+95n][2+9n][4+20n][22+92n][9+38n][6+25n][1+8n][24+101n][14+58n][2+10n][11+46n][4+19n][16+66n][4n][25+104n][7+29n][1+5n][5+23n][15+63n][8+33n][2n][12+52n][16+68n][13+56n][15+65n][20+85n][17+70n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 70+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 70+107n. La série est alors :

1-70-85-65-56-68-52-2-33-63-23-5-29-104-4-66-19-46-10-58-101-8-25-38-92-20-9-95-16-50-76-77-40-18-83-32-100-45-47-80-36-59-64-93-90-94-53-72-11-21-79-73-81===106-37-22-42-51-39-55-105-74-44-84-102-78-3-103-41-88-61-97-49-6-99-82-69-15-87-98-12-91-57-31-30-67-89-24-75-7-62-60-27-71-48-43-14-17-13-54-35-96-86-28-34-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+107n.

Calculons 1/107 en base : 70, 177, 284, ...(70+107n) :

1/107 en base 70 = 0,0-45-55-42-36-44-34-1-21-41-15-3-18-68-2-43-12-30-6-37-66-5-16-24-60-13-5-62-10-32-49-50-26-11-54-20-65-29-30-52-23-38-41-60-58-61-34-47-7-13-51-47-52===69-24-14-27-33-25-35-68-48-28-54-66-51-1-67-26-57-39-63-32-3-64-53-45-9-56-64-7-59-37-20-19-43-58-15-49-4-40-39-17-46-31-28-9-11-8-35-22-62-56-18-22-17...

1/107 en base 177 = 0,1-115-140-107-92-112-86-3-54-104-38-8-47-172-6-109-31-76-16-95-167-13-41-62-152-33-14-157-26-82-125-127-66-29-137-52-165-74-77-132-59-97-105-153-148-155-87-119-18-34-130-120-133===175-61-36-69-84-64-90-173-122-72-138-168-129-4-170-67-145-100-160-81-9-163-135-114-24-143-162-19-150-94-51-49-110-147-39-124-11-102-99-44-117-79-71-23-28-21-89-57-158-142-46-56-43...

1/107 en base 284 = 0,2-185-225-172-148-180-138-5-87-167-61-13-76-276-10-175-50-122-26-153-268-21-66-100-244-53-23-252-42-132-201-204-106-47-220-84-265-119-124-212-95-156-169-246-238-249-140-191-29-55-209-193-214===281-98-58-111-135-103-145-278-196-116-222-270-207-7-273-108-233-161-257-130-15-262-217-183-39-230-260-31-241-151-82-79-177-236-63-199-18-164-159-71-188-127-114-37-45-34-143-92-254-228-74-90-69...

Et de manière générale en base 70+107n :

[n][45+70n][55+85n][42+65n][36+56n][44+68n][34+52n][1+2n][21+33n][41+63n][15+23n][3+5n][18+29n][68+104n][2+4n][43+66n][12+19n][30+46n][6+10n][37+58n][66+101n][5+8n][16+25n][24+38n][60+92n][13+20n][5+9n][62+95n][10+16n][32+50n][49+76n][50+77n][26+40n][11+18n][54+83n][20+32n][65+100n][29+45n][30+47n][52+80n][23+36n][38+59n][41+64n][60+93n][58+90n][61+94n][34+53n][47+72n][7+11n][13+21n][51+79n][47+73n][52+81n]===[69+106n][24+37n][14+22n][27+42n][33+51n][25+39n][35+55n][68+105n][48+74n][28+44n][54+84n][66+102n][51+78n][1+3n][67+103n][26+41n][57+88n][39+61n][63+97n][32+49n][3+6n][64+99n][53+82n][45+69n][9+15n][56+87n][64+98n][7+12n][59+91n][37+57n][20+31n][19+30n][43+67n][58+89n][15+24n][49+75n][4+7n][40+62n][39+60n][17+27n][46+71n][31+48n][28+43n][9+14n][11+17n][8+13n][35+54n][22+35n][62+96n][56+86n][18+28n][22+34n][17+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 70 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+107n.

Constatons que 26x70 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107