Calcul de 1/107 en base 28+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 28+107n se regroupent elles en cette série ?

1-28-35-17-48-60-75-67-57-98-69-6-61-103-102-74-39-22-81-21-53-93-36-45-83-77-16-20-25-58-19-104-23-2-56-70-34-96-13-43-27-7-89-31-12-15-99-97-41-78-44-55-42===106-79-72-90-59-47-32-40-50-9-38-101-46-4-5-33-68-85-26-86-54-14-71-62-24-30-91-87-82-49-88-3-84-105-51-37-73-11-94-64-80-100-18-76-95-92-8-10-66-29-63-52-65

Calculons 1/107 en base 28+107n (28, 135, 242, ...) :

1/107 en base 28 = 0,0-7-9-4-12-15-19-17-14-25-18-1-15-26-26-19-10-5-21-5-13-24-9-11-21-20-4-5-6-15-4-27-6-0-14-18-8-25-3-11-7-1-23-8-3-3-25-25-10-20-11-14-10===27-20-18-23-15-12-8-10-13-2-9-26-12-1-1-8-17-22-6-22-14-3-18-16-6-7-23-22-21-12-23-0-21-27-13-9-19-2-24-16-20-26-4-19-24-24-2-2-17-7-16-13-17...

1/107 en base 135 = 0,1-35-44-21-60-75-94-84-71-123-87-7-76-129-128-93-49-27-102-26-66-117-45-56-104-97-20-25-31-73-23-131-29-2-70-88-42-121-16-54-34-8-112-39-15-18-124-122-51-98-55-69-52===133-99-90-113-74-59-40-50-63-11-47-127-58-5-6-41-85-107-32-108-68-17-89-78-30-37-114-109-103-61-111-3-105-132-64-46-92-13-118-80-100-126-22-95-119-116-10-12-83-36-79-65-82...

1/107 en base 242 = 0,2-63-79-38-108-135-169-151-128-221-156-13-137-232-230-167-88-49-183-47-119-210-81-101-187-174-36-45-56-131-42-235-52-4-126-158-76-217-29-97-61-15-201-70-27-33-223-219-92-176-99-124-94===239-178-162-203-133-106-72-90-113-20-85-228-104-9-11-74-153-192-58-194-122-31-160-140-54-67-205-196-185-110-199-6-189-237-115-83-165-24-212-144-180-226-40-171-214-208-18-22-149-65-142-117-147...

Et de manière générale en base 28+107n :

[n][7+28n][9+35n][4+17n][12+48n][15+60n][19+75n][17+67n][14+57n][25+98n][18+69n][1+6n][15+61n][26+103n][26+102n][19+74n][10+39n][5+22n][21+81n][5+21n][13+53n][24+93n][9+36n][11+45n][21+83n][20+77n][4+16n][5+20n][6+25n][15+58n][4+19n][27+104n][6+23n][2n][14+56n][18+70n][8+34n][25+96n][3+13n][11+43n][7+27n][1+7n][23+89n][8+31n][3+12n][3+15n][25+99n][25+97n][10+41n][20+78n][11+44n][14+55n][10+42n]===[27+106n][20+79n][18+72n][23+90n][15+59n][12+47n][8+32n][10+40n][13+50n][2+9n][9+38n][26+101n][12+46n][1+4n][1+5n][8+33n][17+68n][22+85n][6+26n][22+86n][14+54n][3+14n][18+71n][16+62n][6+24n][7+30n][23+91n][22+87n][21+82n][12+49n][23+88n][3n][21+84n][27+105n][13+51n][9+37n][19+73n][2+11n][24+94n][16+64n][20+80n][26+100n][4+18n][19+76n][24+95n][24+92n][2+8n][2+10n][17+66n][7+29n][16+63n][13+52n][17+65n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 65+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 65+107n. La série est alors :

1-65-52-63-29-66-10-8-92-95-76-18-100-80-64-94-11-73-37-51-105-84-3-88-49-82-87-91-30-24-62-71-14-54-86-26-85-68-33-5-4-46-101-38-9-50-40-32-47-59-90-72-79===106-42-55-44-78-41-97-99-15-12-31-89-7-27-43-13-96-34-70-56-2-23-104-19-58-25-20-16-77-83-45-36-93-53-21-81-22-39-74-102-103-61-6-69-98-57-67-75-60-48-17-35-28

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 28+107n.

Calculons 1/107 en base : 65, 172, 279, ...(65+107n) :

1/107 en base 65 = 0,0-39-31-38-17-40-6-4-55-57-46-10-60-48-38-57-6-44-22-30-63-51-1-53-29-49-52-55-18-14-37-43-8-32-52-15-51-41-20-3-2-27-61-23-5-30-24-19-28-35-54-43-47===64-25-33-26-47-24-58-60-9-7-18-54-4-16-26-7-58-20-42-34-1-13-63-11-35-15-12-9-46-50-27-21-56-32-12-49-13-23-44-61-62-37-3-41-59-34-40-45-36-29-10-21-17...

1/107 en base 172 = 0,1-104-83-101-46-106-16-12-147-152-122-28-160-128-102-151-17-117-59-81-168-135-4-141-78-131-139-146-48-38-99-114-22-86-138-41-136-109-53-8-6-73-162-61-14-80-64-51-75-94-144-115-126===170-67-88-70-125-65-155-159-24-19-49-143-11-43-69-20-154-54-112-90-3-36-167-30-93-40-32-25-123-133-72-57-149-85-33-130-35-62-118-163-165-98-9-110-157-91-107-120-96-77-27-56-45...

1/107 en base 279 = 0,2-169-135-164-75-172-26-20-239-247-198-46-260-208-166-245-28-190-96-132-273-219-7-229-127-213-226-237-78-62-161-185-36-140-224-67-221-177-86-13-10-119-263-99-23-130-104-83-122-153-234-187-205===276-109-143-114-203-106-252-258-39-31-80-232-18-70-112-33-250-88-182-146-5-59-271-49-151-65-52-41-200-216-117-93-242-138-54-211-57-101-192-265-268-159-15-179-255-148-174-195-156-125-44-91-73...

Et de manière générale en base 65+107n :

[n][39+65n][31+52n][38+63n][17+29n][40+66n][6+10n][4+8n][55+92n][57+95n][46+76n][10+18n][60+100n][48+80n][38+64n][57+94n][6+11n][44+73n][22+37n][30+51n][63+105n][51+84n][1+3n][53+88n][29+49n][49+82n][52+87n][55+91n][18+30n][14+24n][37+62n][43+71n][8+14n][32+54n][52+86n][15+26n][51+85n][41+68n][20+33n][3+5n][2+4n][27+46n][61+101n][23+38n][5+9n][30+50n][24+40n][19+32n][28+47n][35+59n][54+90n][43+72n][47+79n]===[64+106n][25+42n][33+55n][26+44n][47+78n][24+41n][58+97n][60+99n][9+15n][7+12n][18+31n][54+89n][4+7n][16+27n][26+43n][7+13n][58+96n][20+34n][42+70n][34+56n][1+2n][13+23n][63+104n][11+19n][35+58n][15+25n][12+20n][9+16n][46+77n][50+83n][27+45n][21+36n][56+93n][32+53n][12+21n][49+81n][13+22n][23+39n][44+74n][61+102n][62+103n][37+61n][3+6n][41+69n][59+98n][34+57n][40+67n][45+75n][36+60n][29+48n][10+17n][21+35n][17+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 65 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 28+107n.

Constatons que 28x65 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107