Calcul de 1/107 en base 31+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 31+107n se regroupent elles en cette série ?

1-31-105-45-4-17-99-73-16-68-75-78-64-58-86-98-42-18-23-71-61-72-92-70-30-74-47-66-13-82-81-50-52-7-3-93-101-28-12-51-83-5-48-97-11-20-85-67-44-80-19-54-69===106-76-2-62-103-90-8-34-91-39-32-29-43-49-21-9-65-89-84-36-46-35-15-37-77-33-60-41-94-25-26-57-55-100-104-14-6-79-95-56-24-102-59-10-96-87-22-40-63-27-88-53-38

Calculons 1/107 en base 31+107n (31, 138, 245, ...) :

1/107 en base 31 = 0,0-8-30-13-1-4-28-21-4-19-21-22-18-16-24-28-12-5-6-20-17-20-26-20-8-21-13-19-3-23-23-14-15-2-0-26-29-8-3-14-24-1-13-28-3-5-24-19-12-23-5-15-19===30-22-0-17-29-26-2-9-26-11-9-8-12-14-6-2-18-25-24-10-13-10-4-10-22-9-17-11-27-7-7-16-15-28-30-4-1-22-27-16-6-29-17-2-27-25-6-11-18-7-25-15-11...

1/107 en base 138 = 0,1-39-135-58-5-21-127-94-20-87-96-100-82-74-110-126-54-23-29-91-78-92-118-90-38-95-60-85-16-105-104-64-67-9-3-119-130-36-15-65-107-6-61-125-14-25-109-86-56-103-24-69-88===136-98-2-79-132-116-10-43-117-50-41-37-55-63-27-11-83-114-108-46-59-45-19-47-99-42-77-52-121-32-33-73-70-128-134-18-7-101-122-72-30-131-76-12-123-112-28-51-81-34-113-68-49...

1/107 en base 245 = 0,2-70-240-103-9-38-226-167-36-155-171-178-146-132-196-224-96-41-52-162-139-164-210-160-68-169-107-151-29-187-185-114-119-16-6-212-231-64-27-116-190-11-109-222-25-45-194-153-100-183-43-123-157===242-174-4-141-235-206-18-77-208-89-73-66-98-112-48-20-148-203-192-82-105-80-34-84-176-75-137-93-215-57-59-130-125-228-238-32-13-180-217-128-54-233-135-22-219-199-50-91-144-61-201-121-87...

Et de manière générale en base 31+107n :

[n][8+31n][30+105n][13+45n][1+4n][4+17n][28+99n][21+73n][4+16n][19+68n][21+75n][22+78n][18+64n][16+58n][24+86n][28+98n][12+42n][5+18n][6+23n][20+71n][17+61n][20+72n][26+92n][20+70n][8+30n][21+74n][13+47n][19+66n][3+13n][23+82n][23+81n][14+50n][15+52n][2+7n][3n][26+93n][29+101n][8+28n][3+12n][14+51n][24+83n][1+5n][13+48n][28+97n][3+11n][5+20n][24+85n][19+67n][12+44n][23+80n][5+19n][15+54n][19+69n]===[30+106n][22+76n][2n][17+62n][29+103n][26+90n][2+8n][9+34n][26+91n][11+39n][9+32n][8+29n][12+43n][14+49n][6+21n][2+9n][18+65n][25+89n][24+84n][10+36n][13+46n][10+35n][4+15n][10+37n][22+77n][9+33n][17+60n][11+41n][27+94n][7+25n][7+26n][16+57n][15+55n][28+100n][30+104n][4+14n][1+6n][22+79n][27+95n][16+56n][6+24n][29+102n][17+59n][2+10n][27+96n][25+87n][6+22n][11+40n][18+63n][7+27n][25+88n][15+53n][11+38n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 38+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 38+107n. La série est alors :

1-38-53-88-27-63-40-22-87-96-10-59-102-24-56-95-79-6-14-104-100-55-57-26-25-94-41-60-33-77-37-15-35-46-36-84-89-65-9-21-49-43-29-32-39-91-34-8-90-103-62-2-76===106-69-54-19-80-44-67-85-20-11-97-48-5-83-51-12-28-101-93-3-7-52-50-81-82-13-66-47-74-30-70-92-72-61-71-23-18-42-98-86-58-64-78-75-68-16-73-99-17-4-45-105-31

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 31+107n.

Calculons 1/107 en base : 38, 145, 252, ...(38+107n) :

1/107 en base 38 = 0,0-13-18-31-9-22-14-7-30-34-3-20-36-8-19-33-28-2-4-36-35-19-20-9-8-33-14-21-11-27-13-5-12-16-12-29-31-23-3-7-17-15-10-11-13-32-12-2-31-36-22-0-26===37-24-19-6-28-15-23-30-7-3-34-17-1-29-18-4-9-35-33-1-2-18-17-28-29-4-23-16-26-10-24-32-25-21-25-8-6-14-34-30-20-22-27-26-24-5-25-35-6-1-15-37-11...

1/107 en base 145 = 0,1-51-71-119-36-85-54-29-117-130-13-79-138-32-75-128-107-8-18-140-135-74-77-35-33-127-55-81-44-104-50-20-47-62-48-113-120-88-12-28-66-58-39-43-52-123-46-10-121-139-84-2-102===143-93-73-25-108-59-90-115-27-14-131-65-6-112-69-16-37-136-126-4-9-70-67-109-111-17-89-63-100-40-94-124-97-82-96-31-24-56-132-116-78-86-105-101-92-21-98-134-23-5-60-142-42...

1/107 en base 252 = 0,2-89-124-207-63-148-94-51-204-226-23-138-240-56-131-223-186-14-32-244-235-129-134-61-58-221-96-141-77-181-87-35-82-108-84-197-209-153-21-49-115-101-68-75-91-214-80-18-211-242-146-4-178===249-162-127-44-188-103-157-200-47-25-228-113-11-195-120-28-65-237-219-7-16-122-117-190-193-30-155-110-174-70-164-216-169-143-167-54-42-98-230-202-136-150-183-176-160-37-171-233-40-9-105-247-73...

Et de manière générale en base 38+107n :

[n][13+38n][18+53n][31+88n][9+27n][22+63n][14+40n][7+22n][30+87n][34+96n][3+10n][20+59n][36+102n][8+24n][19+56n][33+95n][28+79n][2+6n][4+14n][36+104n][35+100n][19+55n][20+57n][9+26n][8+25n][33+94n][14+41n][21+60n][11+33n][27+77n][13+37n][5+15n][12+35n][16+46n][12+36n][29+84n][31+89n][23+65n][3+9n][7+21n][17+49n][15+43n][10+29n][11+32n][13+39n][32+91n][12+34n][2+8n][31+90n][36+103n][22+62n][2n][26+76n]===[37+106n][24+69n][19+54n][6+19n][28+80n][15+44n][23+67n][30+85n][7+20n][3+11n][34+97n][17+48n][1+5n][29+83n][18+51n][4+12n][9+28n][35+101n][33+93n][1+3n][2+7n][18+52n][17+50n][28+81n][29+82n][4+13n][23+66n][16+47n][26+74n][10+30n][24+70n][32+92n][25+72n][21+61n][25+71n][8+23n][6+18n][14+42n][34+98n][30+86n][20+58n][22+64n][27+78n][26+75n][24+68n][5+16n][25+73n][35+99n][6+17n][1+4n][15+45n][37+105n][11+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 38 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 31+107n.

Constatons que 31x38 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107