Calcul de 1/107 en base 32+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 32+107n se regroupent elles en cette série ?

1-32-61-26-83-88-34-18-41-28-40-103-86-77-3-96-76-78-35-50-102-54-16-84-13-95-44-17-9-74-14-20-105-43-92-55-48-38-39-71-25-51-27-8-42-60-101-22-62-58-37-7-10===106-75-46-81-24-19-73-89-66-79-67-4-21-30-104-11-31-29-72-57-5-53-91-23-94-12-63-90-98-33-93-87-2-64-15-52-59-69-68-36-82-56-80-99-65-47-6-85-45-49-70-100-97

Calculons 1/107 en base 32+107n (32, 139, 246, ...) :

1/107 en base 32 = 0,0-9-18-7-24-26-10-5-12-8-11-30-25-23-0-28-22-23-10-14-30-16-4-25-3-28-13-5-2-22-4-5-31-12-27-16-14-11-11-21-7-15-8-2-12-17-30-6-18-17-11-2-2===31-22-13-24-7-5-21-26-19-23-20-1-6-8-31-3-9-8-21-17-1-15-27-6-28-3-18-26-29-9-27-26-0-19-4-15-17-20-20-10-24-16-23-29-19-14-1-25-13-14-20-29-29...

1/107 en base 139 = 0,1-41-79-33-107-114-44-23-53-36-51-133-111-100-3-124-98-101-45-64-132-70-20-109-16-123-57-22-11-96-18-25-136-55-119-71-62-49-50-92-32-66-35-10-54-77-131-28-80-75-48-9-12===137-97-59-105-31-24-94-115-85-102-87-5-27-38-135-14-40-37-93-74-6-68-118-29-122-15-81-116-127-42-120-113-2-83-19-67-76-89-88-46-106-72-103-128-84-61-7-110-58-63-90-129-126...

1/107 en base 246 = 0,2-73-140-59-190-202-78-41-94-64-91-236-197-177-6-220-174-179-80-114-234-124-36-193-29-218-101-39-20-170-32-45-241-98-211-126-110-87-89-163-57-117-62-18-96-137-232-50-142-133-85-16-22===243-172-105-186-55-43-167-204-151-181-154-9-48-68-239-25-71-66-165-131-11-121-209-52-216-27-144-206-225-75-213-200-4-147-34-119-135-158-156-82-188-128-183-227-149-108-13-195-103-112-160-229-223...

Et de manière générale en base 32+107n :

[n][9+32n][18+61n][7+26n][24+83n][26+88n][10+34n][5+18n][12+41n][8+28n][11+40n][30+103n][25+86n][23+77n][3n][28+96n][22+76n][23+78n][10+35n][14+50n][30+102n][16+54n][4+16n][25+84n][3+13n][28+95n][13+44n][5+17n][2+9n][22+74n][4+14n][5+20n][31+105n][12+43n][27+92n][16+55n][14+48n][11+38n][11+39n][21+71n][7+25n][15+51n][8+27n][2+8n][12+42n][17+60n][30+101n][6+22n][18+62n][17+58n][11+37n][2+7n][2+10n]===[31+106n][22+75n][13+46n][24+81n][7+24n][5+19n][21+73n][26+89n][19+66n][23+79n][20+67n][1+4n][6+21n][8+30n][31+104n][3+11n][9+31n][8+29n][21+72n][17+57n][1+5n][15+53n][27+91n][6+23n][28+94n][3+12n][18+63n][26+90n][29+98n][9+33n][27+93n][26+87n][2n][19+64n][4+15n][15+52n][17+59n][20+69n][20+68n][10+36n][24+82n][16+56n][23+80n][29+99n][19+65n][14+47n][1+6n][25+85n][13+45n][14+49n][20+70n][29+100n][29+97n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 32 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 97+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 97+107n. La série est alors :

1-97-100-70-49-45-85-6-47-65-99-80-56-82-36-68-69-59-52-15-64-2-87-93-33-98-90-63-12-94-23-91-53-5-57-72-29-31-11-104-30-21-4-67-79-66-89-73-19-24-81-46-75===106-10-7-37-58-62-22-101-60-42-8-27-51-25-71-39-38-48-55-92-43-105-20-14-74-9-17-44-95-13-84-16-54-102-50-35-78-76-96-3-77-86-103-40-28-41-18-34-88-83-26-61-32

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 32+107n.

Calculons 1/107 en base : 97, 204, 311, ...(97+107n) :

1/107 en base 97 = 0,0-87-90-63-44-40-77-5-42-58-89-72-50-74-32-61-62-53-47-13-58-1-78-84-29-88-81-57-10-85-20-82-48-4-51-65-26-28-9-94-27-19-3-60-71-59-80-66-17-21-73-41-67===96-9-6-33-52-56-19-91-54-38-7-24-46-22-64-35-34-43-49-83-38-95-18-12-67-8-15-39-86-11-76-14-48-92-45-31-70-68-87-2-69-77-93-36-25-37-16-30-79-75-23-55-29...

1/107 en base 204 = 0,1-184-190-133-93-85-162-11-89-123-188-152-106-156-68-129-131-112-99-28-122-3-165-177-62-186-171-120-22-179-43-173-101-9-108-137-55-59-20-198-57-40-7-127-150-125-169-139-36-45-154-87-142===202-19-13-70-110-118-41-192-114-80-15-51-97-47-135-74-72-91-104-175-81-200-38-26-141-17-32-83-181-24-160-30-102-194-95-66-148-144-183-5-146-163-196-76-53-78-34-64-167-158-49-116-61...

1/107 en base 311 = 0,2-281-290-203-142-130-247-17-136-188-287-232-162-238-104-197-200-171-151-43-186-5-252-270-95-284-261-183-34-273-66-264-154-14-165-209-84-90-31-302-87-61-11-194-229-191-258-212-55-69-235-133-217===308-29-20-107-168-180-63-293-174-122-23-78-148-72-206-113-110-139-159-267-124-305-58-40-215-26-49-127-276-37-244-46-156-296-145-101-226-220-279-8-223-249-299-116-81-119-52-98-255-241-75-177-93...

Et de manière générale en base 97+107n :

[n][87+97n][90+100n][63+70n][44+49n][40+45n][77+85n][5+6n][42+47n][58+65n][89+99n][72+80n][50+56n][74+82n][32+36n][61+68n][62+69n][53+59n][47+52n][13+15n][58+64n][1+2n][78+87n][84+93n][29+33n][88+98n][81+90n][57+63n][10+12n][85+94n][20+23n][82+91n][48+53n][4+5n][51+57n][65+72n][26+29n][28+31n][9+11n][94+104n][27+30n][19+21n][3+4n][60+67n][71+79n][59+66n][80+89n][66+73n][17+19n][21+24n][73+81n][41+46n][67+75n]===[96+106n][9+10n][6+7n][33+37n][52+58n][56+62n][19+22n][91+101n][54+60n][38+42n][7+8n][24+27n][46+51n][22+25n][64+71n][35+39n][34+38n][43+48n][49+55n][83+92n][38+43n][95+105n][18+20n][12+14n][67+74n][8+9n][15+17n][39+44n][86+95n][11+13n][76+84n][14+16n][48+54n][92+102n][45+50n][31+35n][70+78n][68+76n][87+96n][2+3n][69+77n][77+86n][93+103n][36+40n][25+28n][37+41n][16+18n][30+34n][79+88n][75+83n][23+26n][55+61n][29+32n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 97 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 32+107n.

Constatons que 32x97 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107