Calcul de 1/107 en base 45+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 45+107n se regroupent elles en cette série ?

1-45-99-68-64-98-23-72-30-66-81-7-101-51-48-20-44-54-76-103-34-32-49-65-36-15-33-94-57-104-79-24-10-22-27-38-105-17-16-78-86-18-61-70-47-82-52-93-12-5-11-67-19===106-62-8-39-43-9-84-35-77-41-26-100-6-56-59-87-63-53-31-4-73-75-58-42-71-92-74-13-50-3-28-83-97-85-80-69-2-90-91-29-21-89-46-37-60-25-55-14-95-102-96-40-88

Calculons 1/107 en base 45+107n (45, 152, 259, ...) :

1/107 en base 45 = 0,0-18-41-28-26-41-9-30-12-27-34-2-42-21-20-8-18-22-31-43-14-13-20-27-15-6-13-39-23-43-33-10-4-9-11-15-44-7-6-32-36-7-25-29-19-34-21-39-5-2-4-28-7===44-26-3-16-18-3-35-14-32-17-10-42-2-23-24-36-26-22-13-1-30-31-24-17-29-38-31-5-21-1-11-34-40-35-33-29-0-37-38-12-8-37-19-15-25-10-23-5-39-42-40-16-37...

1/107 en base 152 = 0,1-63-140-96-90-139-32-102-42-93-115-9-143-72-68-28-62-76-107-146-48-45-69-92-51-21-46-133-80-147-112-34-14-31-38-53-149-24-22-110-122-25-86-99-66-116-73-132-17-7-15-95-26===150-88-11-55-61-12-119-49-109-58-36-142-8-79-83-123-89-75-44-5-103-106-82-59-100-130-105-18-71-4-39-117-137-120-113-98-2-127-129-41-29-126-65-52-85-35-78-19-134-144-136-56-125...

1/107 en base 259 = 0,2-108-239-164-154-237-55-174-72-159-196-16-244-123-116-48-106-130-183-249-82-77-118-157-87-36-79-227-137-251-191-58-24-53-65-91-254-41-38-188-208-43-147-169-113-198-125-225-29-12-26-162-45===256-150-19-94-104-21-203-84-186-99-62-242-14-135-142-210-152-128-75-9-176-181-140-101-171-222-179-31-121-7-67-200-234-205-193-167-4-217-220-70-50-215-111-89-145-60-133-33-229-246-232-96-213...

Et de manière générale en base 45+107n :

[n][18+45n][41+99n][28+68n][26+64n][41+98n][9+23n][30+72n][12+30n][27+66n][34+81n][2+7n][42+101n][21+51n][20+48n][8+20n][18+44n][22+54n][31+76n][43+103n][14+34n][13+32n][20+49n][27+65n][15+36n][6+15n][13+33n][39+94n][23+57n][43+104n][33+79n][10+24n][4+10n][9+22n][11+27n][15+38n][44+105n][7+17n][6+16n][32+78n][36+86n][7+18n][25+61n][29+70n][19+47n][34+82n][21+52n][39+93n][5+12n][2+5n][4+11n][28+67n][7+19n]===[44+106n][26+62n][3+8n][16+39n][18+43n][3+9n][35+84n][14+35n][32+77n][17+41n][10+26n][42+100n][2+6n][23+56n][24+59n][36+87n][26+63n][22+53n][13+31n][1+4n][30+73n][31+75n][24+58n][17+42n][29+71n][38+92n][31+74n][5+13n][21+50n][1+3n][11+28n][34+83n][40+97n][35+85n][33+80n][29+69n][2n][37+90n][38+91n][12+29n][8+21n][37+89n][19+46n][15+37n][25+60n][10+25n][23+55n][5+14n][39+95n][42+102n][40+96n][16+40n][37+88n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 45 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 88+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 88+107n. La série est alors :

1-88-40-96-102-95-14-55-25-60-37-46-89-21-29-91-90-2-69-80-85-97-83-28-3-50-13-74-92-71-42-58-75-73-4-31-53-63-87-59-56-6-100-26-41-77-35-84-9-43-39-8-62===106-19-67-11-5-12-93-52-82-47-70-61-18-86-78-16-17-105-38-27-22-10-24-79-104-57-94-33-15-36-65-49-32-34-103-76-54-44-20-48-51-101-7-81-66-30-72-23-98-64-68-99-45

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 45+107n.

Calculons 1/107 en base : 88, 195, 302, ...(88+107n) :

1/107 en base 88 = 0,0-72-32-78-83-78-11-45-20-49-30-37-73-17-23-74-74-1-56-65-69-79-68-23-2-41-10-60-75-58-34-47-61-60-3-25-43-51-71-48-46-4-82-21-33-63-28-69-7-35-32-6-50===87-15-55-9-4-9-76-42-67-38-57-50-14-70-64-13-13-86-31-22-18-8-19-64-85-46-77-27-12-29-53-40-26-27-84-62-44-36-16-39-41-83-5-66-54-24-59-18-80-52-55-81-37...

1/107 en base 195 = 0,1-160-72-174-185-173-25-100-45-109-67-83-162-38-52-165-164-3-125-145-154-176-151-51-5-91-23-134-167-129-76-105-136-133-7-56-96-114-158-107-102-10-182-47-74-140-63-153-16-78-71-14-112===193-34-122-20-9-21-169-94-149-85-127-111-32-156-142-29-30-191-69-49-40-18-43-143-189-103-171-60-27-65-118-89-58-61-187-138-98-80-36-87-92-184-12-147-120-54-131-41-178-116-123-180-82...

1/107 en base 302 = 0,2-248-112-270-287-268-39-155-70-169-104-129-251-59-81-256-254-5-194-225-239-273-234-79-8-141-36-208-259-200-118-163-211-206-11-87-149-177-245-166-158-16-282-73-115-217-98-237-25-121-110-22-174===299-53-189-31-14-33-262-146-231-132-197-172-50-242-220-45-47-296-107-76-62-28-67-222-293-160-265-93-42-101-183-138-90-95-290-214-152-124-56-135-143-285-19-228-186-84-203-64-276-180-191-279-127...

Et de manière générale en base 88+107n :

[n][72+88n][32+40n][78+96n][83+102n][78+95n][11+14n][45+55n][20+25n][49+60n][30+37n][37+46n][73+89n][17+21n][23+29n][74+91n][74+90n][1+2n][56+69n][65+80n][69+85n][79+97n][68+83n][23+28n][2+3n][41+50n][10+13n][60+74n][75+92n][58+71n][34+42n][47+58n][61+75n][60+73n][3+4n][25+31n][43+53n][51+63n][71+87n][48+59n][46+56n][4+6n][82+100n][21+26n][33+41n][63+77n][28+35n][69+84n][7+9n][35+43n][32+39n][6+8n][50+62n]===[87+106n][15+19n][55+67n][9+11n][4+5n][9+12n][76+93n][42+52n][67+82n][38+47n][57+70n][50+61n][14+18n][70+86n][64+78n][13+16n][13+17n][86+105n][31+38n][22+27n][18+22n][8+10n][19+24n][64+79n][85+104n][46+57n][77+94n][27+33n][12+15n][29+36n][53+65n][40+49n][26+32n][27+34n][84+103n][62+76n][44+54n][36+44n][16+20n][39+48n][41+51n][83+101n][5+7n][66+81n][54+66n][24+30n][59+72n][18+23n][80+98n][52+64n][55+68n][81+99n][37+45n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 88 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 45+107n.

Constatons que 45x88 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107