Calcul de 1/107 en base 55+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 55+107n se regroupent elles en cette série ?

1-55-29-97-92-31-100-43-11-70-105-104-49-20-30-45-14-21-85-74-4-6-9-67-47-17-79-65-44-66-99-95-89-80-13-73-56-84-19-82-16-24-36-54-81-68-102-46-69-50-75-59-35===106-52-78-10-15-76-7-64-96-37-2-3-58-87-77-62-93-86-22-33-103-101-98-40-60-90-28-42-63-41-8-12-18-27-94-34-51-23-88-25-91-83-71-53-26-39-5-61-38-57-32-48-72

Calculons 1/107 en base 55+107n (55, 162, 269, ...) :

1/107 en base 55 = 0,0-28-14-49-47-15-51-22-5-35-53-53-25-10-15-23-7-10-43-38-2-3-4-34-24-8-40-33-22-33-50-48-45-41-6-37-28-43-9-42-8-12-18-27-41-34-52-23-35-25-38-30-17===54-26-40-5-7-39-3-32-49-19-1-1-29-44-39-31-47-44-11-16-52-51-50-20-30-46-14-21-32-21-4-6-9-13-48-17-26-11-45-12-46-42-36-27-13-20-2-31-19-29-16-24-37...

1/107 en base 162 = 0,1-83-43-146-139-46-151-65-16-105-158-157-74-30-45-68-21-31-128-112-6-9-13-101-71-25-119-98-66-99-149-143-134-121-19-110-84-127-28-124-24-36-54-81-122-102-154-69-104-75-113-89-52===160-78-118-15-22-115-10-96-145-56-3-4-87-131-116-93-140-130-33-49-155-152-148-60-90-136-42-63-95-62-12-18-27-40-142-51-77-34-133-37-137-125-107-80-39-59-7-92-57-86-48-72-109...

1/107 en base 269 = 0,2-138-72-243-231-77-251-108-27-175-263-261-123-50-75-113-35-52-213-186-10-15-22-168-118-42-198-163-110-165-248-238-223-201-32-183-140-211-47-206-40-60-90-135-203-170-256-115-173-125-188-148-87===266-130-196-25-37-191-17-160-241-93-5-7-145-218-193-155-233-216-55-82-258-253-246-100-150-226-70-105-158-103-20-30-45-67-236-85-128-57-221-62-228-208-178-133-65-98-12-153-95-143-80-120-181...

Et de manière générale en base 55+107n :

[n][28+55n][14+29n][49+97n][47+92n][15+31n][51+100n][22+43n][5+11n][35+70n][53+105n][53+104n][25+49n][10+20n][15+30n][23+45n][7+14n][10+21n][43+85n][38+74n][2+4n][3+6n][4+9n][34+67n][24+47n][8+17n][40+79n][33+65n][22+44n][33+66n][50+99n][48+95n][45+89n][41+80n][6+13n][37+73n][28+56n][43+84n][9+19n][42+82n][8+16n][12+24n][18+36n][27+54n][41+81n][34+68n][52+102n][23+46n][35+69n][25+50n][38+75n][30+59n][17+35n]===[54+106n][26+52n][40+78n][5+10n][7+15n][39+76n][3+7n][32+64n][49+96n][19+37n][1+2n][1+3n][29+58n][44+87n][39+77n][31+62n][47+93n][44+86n][11+22n][16+33n][52+103n][51+101n][50+98n][20+40n][30+60n][46+90n][14+28n][21+42n][32+63n][21+41n][4+8n][6+12n][9+18n][13+27n][48+94n][17+34n][26+51n][11+23n][45+88n][12+25n][46+91n][42+83n][36+71n][27+53n][13+26n][20+39n][2+5n][31+61n][19+38n][29+57n][16+32n][24+48n][37+72n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 55 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 72+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 72+107n. La série est alors :

1-72-48-32-57-38-61-5-39-26-53-71-83-91-25-88-23-51-34-94-27-18-12-8-41-63-42-28-90-60-40-98-101-103-33-22-86-93-62-77-87-58-3-2-37-96-64-7-76-15-10-78-52===106-35-59-75-50-69-46-102-68-81-54-36-24-16-82-19-84-56-73-13-80-89-95-99-66-44-65-79-17-47-67-9-6-4-74-85-21-14-45-30-20-49-104-105-70-11-43-100-31-92-97-29-55

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 55+107n.

Calculons 1/107 en base : 72, 179, 286, ...(72+107n) :

1/107 en base 72 = 0,0-48-32-21-38-25-41-3-26-17-35-47-55-61-16-59-15-34-22-63-18-12-8-5-27-42-28-18-60-40-26-65-67-69-22-14-57-62-41-51-58-39-2-1-24-64-43-4-51-10-6-52-34===71-23-39-50-33-46-30-68-45-54-36-24-16-10-55-12-56-37-49-8-53-59-63-66-44-29-43-53-11-31-45-6-4-2-49-57-14-9-30-20-13-32-69-70-47-7-28-67-20-61-65-19-37...

1/107 en base 179 = 0,1-120-80-53-95-63-102-8-65-43-88-118-138-152-41-147-38-85-56-157-45-30-20-13-68-105-70-46-150-100-66-163-168-172-55-36-143-155-103-128-145-97-5-3-61-160-107-11-127-25-16-130-86===177-58-98-125-83-115-76-170-113-135-90-60-40-26-137-31-140-93-122-21-133-148-158-165-110-73-108-132-28-78-112-15-10-6-123-142-35-23-75-50-33-81-173-175-117-18-71-167-51-153-162-48-92...

1/107 en base 286 = 0,2-192-128-85-152-101-163-13-104-69-141-189-221-243-66-235-61-136-90-251-72-48-32-21-109-168-112-74-240-160-106-261-269-275-88-58-229-248-165-205-232-155-8-5-98-256-171-18-203-40-26-208-138===283-93-157-200-133-184-122-272-181-216-144-96-64-42-219-50-224-149-195-34-213-237-253-264-176-117-173-211-45-125-179-24-16-10-197-227-56-37-120-80-53-130-277-280-187-29-114-267-82-245-259-77-147...

Et de manière générale en base 72+107n :

[n][48+72n][32+48n][21+32n][38+57n][25+38n][41+61n][3+5n][26+39n][17+26n][35+53n][47+71n][55+83n][61+91n][16+25n][59+88n][15+23n][34+51n][22+34n][63+94n][18+27n][12+18n][8+12n][5+8n][27+41n][42+63n][28+42n][18+28n][60+90n][40+60n][26+40n][65+98n][67+101n][69+103n][22+33n][14+22n][57+86n][62+93n][41+62n][51+77n][58+87n][39+58n][2+3n][1+2n][24+37n][64+96n][43+64n][4+7n][51+76n][10+15n][6+10n][52+78n][34+52n]===[71+106n][23+35n][39+59n][50+75n][33+50n][46+69n][30+46n][68+102n][45+68n][54+81n][36+54n][24+36n][16+24n][10+16n][55+82n][12+19n][56+84n][37+56n][49+73n][8+13n][53+80n][59+89n][63+95n][66+99n][44+66n][29+44n][43+65n][53+79n][11+17n][31+47n][45+67n][6+9n][4+6n][2+4n][49+74n][57+85n][14+21n][9+14n][30+45n][20+30n][13+20n][32+49n][69+104n][70+105n][47+70n][7+11n][28+43n][67+100n][20+31n][61+92n][65+97n][19+29n][37+55n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 72 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 55+107n.

Constatons que 55x72 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107