Calcul de 1/107 en base 59+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 59+107n se regroupent elles en cette série ?

1-59-57-46-39-54-83-82-23-73-27-95-41-65-90-67-101-74-86-45-87-104-37-43-76-97-52-72-75-38-102-26-36-91-19-51-13-18-99-63-79-60-9-103-85-93-30-58-105-96-100-15-29===106-48-50-61-68-53-24-25-84-34-80-12-66-42-17-40-6-33-21-62-20-3-70-64-31-10-55-35-32-69-5-81-71-16-88-56-94-89-8-44-28-47-98-4-22-14-77-49-2-11-7-92-78

Calculons 1/107 en base 59+107n (59, 166, 273, ...) :

1/107 en base 59 = 0,0-32-31-25-21-29-45-45-12-40-14-52-22-35-49-36-55-40-47-24-47-57-20-23-41-53-28-39-41-20-56-14-19-50-10-28-7-9-54-34-43-33-4-56-46-51-16-31-57-52-55-8-15===58-26-27-33-37-29-13-13-46-18-44-6-36-23-9-22-3-18-11-34-11-1-38-35-17-5-30-19-17-38-2-44-39-8-48-30-51-49-4-24-15-25-54-2-12-7-42-27-1-6-3-50-43...

1/107 en base 166 = 0,1-91-88-71-60-83-128-127-35-113-41-147-63-100-139-103-156-114-133-69-134-161-57-66-117-150-80-111-116-58-158-40-55-141-29-79-20-27-153-97-122-93-13-159-131-144-46-89-162-148-155-23-44===164-74-77-94-105-82-37-38-130-52-124-18-102-65-26-62-9-51-32-96-31-4-108-99-48-15-85-54-49-107-7-125-110-24-136-86-145-138-12-68-43-72-152-6-34-21-119-76-3-17-10-142-121...

1/107 en base 273 = 0,2-150-145-117-99-137-211-209-58-186-68-242-104-165-229-170-257-188-219-114-221-265-94-109-193-247-132-183-191-96-260-66-91-232-48-130-33-45-252-160-201-153-22-262-216-237-76-147-267-244-255-38-73===270-122-127-155-173-135-61-63-214-86-204-30-168-107-43-102-15-84-53-158-51-7-178-163-79-25-140-89-81-176-12-206-181-40-224-142-239-227-20-112-71-119-250-10-56-35-196-125-5-28-17-234-199...

Et de manière générale en base 59+107n :

[n][32+59n][31+57n][25+46n][21+39n][29+54n][45+83n][45+82n][12+23n][40+73n][14+27n][52+95n][22+41n][35+65n][49+90n][36+67n][55+101n][40+74n][47+86n][24+45n][47+87n][57+104n][20+37n][23+43n][41+76n][53+97n][28+52n][39+72n][41+75n][20+38n][56+102n][14+26n][19+36n][50+91n][10+19n][28+51n][7+13n][9+18n][54+99n][34+63n][43+79n][33+60n][4+9n][56+103n][46+85n][51+93n][16+30n][31+58n][57+105n][52+96n][55+100n][8+15n][15+29n]===[58+106n][26+48n][27+50n][33+61n][37+68n][29+53n][13+24n][13+25n][46+84n][18+34n][44+80n][6+12n][36+66n][23+42n][9+17n][22+40n][3+6n][18+33n][11+21n][34+62n][11+20n][1+3n][38+70n][35+64n][17+31n][5+10n][30+55n][19+35n][17+32n][38+69n][2+5n][44+81n][39+71n][8+16n][48+88n][30+56n][51+94n][49+89n][4+8n][24+44n][15+28n][25+47n][54+98n][2+4n][12+22n][7+14n][42+77n][27+49n][1+2n][6+11n][3+7n][50+92n][43+78n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 78+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 78+107n. La série est alors :

1-78-92-7-11-2-49-77-14-22-4-98-47-28-44-8-89-94-56-88-16-71-81-5-69-32-35-55-10-31-64-70-3-20-62-21-33-6-40-17-42-66-12-80-34-84-25-24-53-68-61-50-48===106-29-15-100-96-105-58-30-93-85-103-9-60-79-63-99-18-13-51-19-91-36-26-102-38-75-72-52-97-76-43-37-104-87-45-86-74-101-67-90-65-41-95-27-73-23-82-83-54-39-46-57-59

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 59+107n.

Calculons 1/107 en base : 78, 185, 292, ...(78+107n) :

1/107 en base 78 = 0,0-56-67-5-8-1-35-56-10-16-2-71-34-20-32-5-64-68-40-64-11-51-59-3-50-23-25-40-7-22-46-51-2-14-45-15-24-4-29-12-30-48-8-58-24-61-18-17-38-49-44-36-34===77-21-10-72-69-76-42-21-67-61-75-6-43-57-45-72-13-9-37-13-66-26-18-74-27-54-52-37-70-55-31-26-75-63-32-62-53-73-48-65-47-29-69-19-53-16-59-60-39-28-33-41-43...

1/107 en base 185 = 0,1-134-159-12-19-3-84-133-24-38-6-169-81-48-76-13-153-162-96-152-27-122-140-8-119-55-60-95-17-53-110-121-5-34-107-36-57-10-69-29-72-114-20-138-58-145-43-41-91-117-105-86-82===183-50-25-172-165-181-100-51-160-146-178-15-103-136-108-171-31-22-88-32-157-62-44-176-65-129-124-89-167-131-74-63-179-150-77-148-127-174-115-155-112-70-164-46-126-39-141-143-93-67-79-98-102...

1/107 en base 292 = 0,2-212-251-19-30-5-133-210-38-60-10-267-128-76-120-21-242-256-152-240-43-193-221-13-188-87-95-150-27-84-174-191-8-54-169-57-90-16-109-46-114-180-32-218-92-229-68-65-144-185-166-136-130===289-79-40-272-261-286-158-81-253-231-281-24-163-215-171-270-49-35-139-51-248-98-70-278-103-204-196-141-264-207-117-100-283-237-122-234-201-275-182-245-177-111-259-73-199-62-223-226-147-106-125-155-161...

Et de manière générale en base 78+107n :

[n][56+78n][67+92n][5+7n][8+11n][1+2n][35+49n][56+77n][10+14n][16+22n][2+4n][71+98n][34+47n][20+28n][32+44n][5+8n][64+89n][68+94n][40+56n][64+88n][11+16n][51+71n][59+81n][3+5n][50+69n][23+32n][25+35n][40+55n][7+10n][22+31n][46+64n][51+70n][2+3n][14+20n][45+62n][15+21n][24+33n][4+6n][29+40n][12+17n][30+42n][48+66n][8+12n][58+80n][24+34n][61+84n][18+25n][17+24n][38+53n][49+68n][44+61n][36+50n][34+48n]===[77+106n][21+29n][10+15n][72+100n][69+96n][76+105n][42+58n][21+30n][67+93n][61+85n][75+103n][6+9n][43+60n][57+79n][45+63n][72+99n][13+18n][9+13n][37+51n][13+19n][66+91n][26+36n][18+26n][74+102n][27+38n][54+75n][52+72n][37+52n][70+97n][55+76n][31+43n][26+37n][75+104n][63+87n][32+45n][62+86n][53+74n][73+101n][48+67n][65+90n][47+65n][29+41n][69+95n][19+27n][53+73n][16+23n][59+82n][60+83n][39+54n][28+39n][33+46n][41+57n][43+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 78 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 59+107n.

Constatons que 59x78 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107