Calcul de 1/107 en base 60+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 60+107n se regroupent elles en cette série ?

1-60-69-74-53-77-19-70-27-15-44-72-40-46-85-71-87-84-11-18-10-65-48-98-102-21-83-58-56-43-12-78-79-32-101-68-14-91-3-73-100-8-52-17-57-103-81-45-25-2-13-31-41===106-47-38-33-54-30-88-37-80-92-63-35-67-61-22-36-20-23-96-89-97-42-59-9-5-86-24-49-51-64-95-29-28-75-6-39-93-16-104-34-7-99-55-90-50-4-26-62-82-105-94-76-66

Calculons 1/107 en base 60+107n (60, 167, 274, ...) :

1/107 en base 60 = 0,0-33-38-41-29-43-10-39-15-8-24-40-22-25-47-39-48-47-6-10-5-36-26-54-57-11-46-32-31-24-6-43-44-17-56-38-7-51-1-40-56-4-29-9-31-57-45-25-14-1-7-17-22===59-26-21-18-30-16-49-20-44-51-35-19-37-34-12-20-11-12-53-49-54-23-33-5-2-48-13-27-28-35-53-16-15-42-3-21-52-8-58-19-3-55-30-50-28-2-14-34-45-58-52-42-37...

1/107 en base 167 = 0,1-93-107-115-82-120-29-109-42-23-68-112-62-71-132-110-135-131-17-28-15-101-74-152-159-32-129-90-87-67-18-121-123-49-157-106-21-142-4-113-156-12-81-26-88-160-126-70-39-3-20-48-63===165-73-59-51-84-46-137-57-124-143-98-54-104-95-34-56-31-35-149-138-151-65-92-14-7-134-37-76-79-99-148-45-43-117-9-60-145-24-162-53-10-154-85-140-78-6-40-96-127-163-146-118-103...

1/107 en base 274 = 0,2-153-176-189-135-197-48-179-69-38-112-184-102-117-217-181-222-215-28-46-25-166-122-250-261-53-212-148-143-110-30-199-202-81-258-174-35-233-7-186-256-20-133-43-145-263-207-115-64-5-33-79-104===271-120-97-84-138-76-225-94-204-235-161-89-171-156-56-92-51-58-245-227-248-107-151-23-12-220-61-125-130-163-243-74-71-192-15-99-238-40-266-87-17-253-140-230-128-10-66-158-209-268-240-194-169...

Et de manière générale en base 60+107n :

[n][33+60n][38+69n][41+74n][29+53n][43+77n][10+19n][39+70n][15+27n][8+15n][24+44n][40+72n][22+40n][25+46n][47+85n][39+71n][48+87n][47+84n][6+11n][10+18n][5+10n][36+65n][26+48n][54+98n][57+102n][11+21n][46+83n][32+58n][31+56n][24+43n][6+12n][43+78n][44+79n][17+32n][56+101n][38+68n][7+14n][51+91n][1+3n][40+73n][56+100n][4+8n][29+52n][9+17n][31+57n][57+103n][45+81n][25+45n][14+25n][1+2n][7+13n][17+31n][22+41n]===[59+106n][26+47n][21+38n][18+33n][30+54n][16+30n][49+88n][20+37n][44+80n][51+92n][35+63n][19+35n][37+67n][34+61n][12+22n][20+36n][11+20n][12+23n][53+96n][49+89n][54+97n][23+42n][33+59n][5+9n][2+5n][48+86n][13+24n][27+49n][28+51n][35+64n][53+95n][16+29n][15+28n][42+75n][3+6n][21+39n][52+93n][8+16n][58+104n][19+34n][3+7n][55+99n][30+55n][50+90n][28+50n][2+4n][14+26n][34+62n][45+82n][58+105n][52+94n][42+76n][37+66n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 60 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 66+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 66+107n. La série est alors :

1-66-76-94-105-82-62-26-4-50-90-55-99-7-34-104-16-93-39-6-75-28-29-95-64-51-49-24-86-5-9-59-42-97-89-96-23-20-36-22-61-67-35-63-92-80-37-88-30-54-33-38-47===106-41-31-13-2-25-45-81-103-57-17-52-8-100-73-3-91-14-68-101-32-79-78-12-43-56-58-83-21-102-98-48-65-10-18-11-84-87-71-85-46-40-72-44-15-27-70-19-77-53-74-69-60

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 60+107n.

Calculons 1/107 en base : 66, 173, 280, ...(66+107n) :

1/107 en base 66 = 0,0-40-46-57-64-50-38-16-2-30-55-33-61-4-20-64-9-57-24-3-46-17-17-58-39-31-30-14-53-3-5-36-25-59-54-59-14-12-22-13-37-41-21-38-56-49-22-54-18-33-20-23-28===65-25-19-8-1-15-27-49-63-35-10-32-4-61-45-1-56-8-41-62-19-48-48-7-26-34-35-51-12-62-60-29-40-6-11-6-51-53-43-52-28-24-44-27-9-16-43-11-47-32-45-42-37...

1/107 en base 173 = 0,1-106-122-151-169-132-100-42-6-80-145-88-160-11-54-168-25-150-63-9-121-45-46-153-103-82-79-38-139-8-14-95-67-156-143-155-37-32-58-35-98-108-56-101-148-129-59-142-48-87-53-61-75===171-66-50-21-3-40-72-130-166-92-27-84-12-161-118-4-147-22-109-163-51-127-126-19-69-90-93-134-33-164-158-77-105-16-29-17-135-140-114-137-74-64-116-71-24-43-113-30-124-85-119-111-97...

1/107 en base 280 = 0,2-172-198-245-274-214-162-68-10-130-235-143-259-18-88-272-41-243-102-15-196-73-75-248-167-133-128-62-225-13-23-154-109-253-232-251-60-52-94-57-159-175-91-164-240-209-96-230-78-141-86-99-122===277-107-81-34-5-65-117-211-269-149-44-136-20-261-191-7-238-36-177-264-83-206-204-31-112-146-151-217-54-266-256-125-170-26-47-28-219-227-185-222-120-104-188-115-39-70-183-49-201-138-193-180-157...

Et de manière générale en base 66+107n :

[n][40+66n][46+76n][57+94n][64+105n][50+82n][38+62n][16+26n][2+4n][30+50n][55+90n][33+55n][61+99n][4+7n][20+34n][64+104n][9+16n][57+93n][24+39n][3+6n][46+75n][17+28n][17+29n][58+95n][39+64n][31+51n][30+49n][14+24n][53+86n][3+5n][5+9n][36+59n][25+42n][59+97n][54+89n][59+96n][14+23n][12+20n][22+36n][13+22n][37+61n][41+67n][21+35n][38+63n][56+92n][49+80n][22+37n][54+88n][18+30n][33+54n][20+33n][23+38n][28+47n]===[65+106n][25+41n][19+31n][8+13n][1+2n][15+25n][27+45n][49+81n][63+103n][35+57n][10+17n][32+52n][4+8n][61+100n][45+73n][1+3n][56+91n][8+14n][41+68n][62+101n][19+32n][48+79n][48+78n][7+12n][26+43n][34+56n][35+58n][51+83n][12+21n][62+102n][60+98n][29+48n][40+65n][6+10n][11+18n][6+11n][51+84n][53+87n][43+71n][52+85n][28+46n][24+40n][44+72n][27+44n][9+15n][16+27n][43+70n][11+19n][47+77n][32+53n][45+74n][42+69n][37+60n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 66 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 60+107n.

Constatons que 60x66 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107