Calcul de 1/107 en base 68+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 68+107n se regroupent elles en cette série ?

1-68-23-66-101-20-76-32-36-94-79-22-105-78-61-82-12-67-62-43-35-26-56-63-4-58-92-50-83-80-90-21-37-55-102-88-99-98-30-7-48-54-34-65-33-104-10-38-16-18-47-93-11===106-39-84-41-6-87-31-75-71-13-28-85-2-29-46-25-95-40-45-64-72-81-51-44-103-49-15-57-24-27-17-86-70-52-5-19-8-9-77-100-59-53-73-42-74-3-97-69-91-89-60-14-96

Calculons 1/107 en base 68+107n (68, 175, 282, ...) :

1/107 en base 68 = 0,0-43-14-41-64-12-48-20-22-59-50-13-66-49-38-52-7-42-39-27-22-16-35-40-2-36-58-31-52-50-57-13-23-34-64-55-62-62-19-4-30-34-21-41-20-66-6-24-10-11-29-59-6===67-24-53-26-3-55-19-47-45-8-17-54-1-18-29-15-60-25-28-40-45-51-32-27-65-31-9-36-15-17-10-54-44-33-3-12-5-5-48-63-37-33-46-26-47-1-61-43-57-56-38-8-61...

1/107 en base 175 = 0,1-111-37-107-165-32-124-52-58-153-129-35-171-127-99-134-19-109-101-70-57-42-91-103-6-94-150-81-135-130-147-34-60-89-166-143-161-160-49-11-78-88-55-106-53-170-16-62-26-29-76-152-17===173-63-137-67-9-142-50-122-116-21-45-139-3-47-75-40-155-65-73-104-117-132-83-71-168-80-24-93-39-44-27-140-114-85-8-31-13-14-125-163-96-86-119-68-121-4-158-112-148-145-98-22-157...

1/107 en base 282 = 0,2-179-60-173-266-52-200-84-94-247-208-57-276-205-160-216-31-176-163-113-92-68-147-166-10-152-242-131-218-210-237-55-97-144-268-231-260-258-79-18-126-142-89-171-86-274-26-100-42-47-123-245-28===279-102-221-108-15-229-81-197-187-34-73-224-5-76-121-65-250-105-118-168-189-213-134-115-271-129-39-150-63-71-44-226-184-137-13-50-21-23-202-263-155-139-192-110-195-7-255-181-239-234-158-36-253...

Et de manière générale en base 68+107n :

[n][43+68n][14+23n][41+66n][64+101n][12+20n][48+76n][20+32n][22+36n][59+94n][50+79n][13+22n][66+105n][49+78n][38+61n][52+82n][7+12n][42+67n][39+62n][27+43n][22+35n][16+26n][35+56n][40+63n][2+4n][36+58n][58+92n][31+50n][52+83n][50+80n][57+90n][13+21n][23+37n][34+55n][64+102n][55+88n][62+99n][62+98n][19+30n][4+7n][30+48n][34+54n][21+34n][41+65n][20+33n][66+104n][6+10n][24+38n][10+16n][11+18n][29+47n][59+93n][6+11n]===[67+106n][24+39n][53+84n][26+41n][3+6n][55+87n][19+31n][47+75n][45+71n][8+13n][17+28n][54+85n][1+2n][18+29n][29+46n][15+25n][60+95n][25+40n][28+45n][40+64n][45+72n][51+81n][32+51n][27+44n][65+103n][31+49n][9+15n][36+57n][15+24n][17+27n][10+17n][54+86n][44+70n][33+52n][3+5n][12+19n][5+8n][5+9n][48+77n][63+100n][37+59n][33+53n][46+73n][26+42n][47+74n][1+3n][61+97n][43+69n][57+91n][56+89n][38+60n][8+14n][61+96n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 68 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 96+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 96+107n. La série est alors :

1-96-14-60-89-91-69-97-3-74-42-73-53-59-100-77-9-8-19-5-52-70-86-17-27-24-57-15-49-103-44-51-81-72-64-45-40-95-25-46-29-2-85-28-13-71-75-31-87-6-41-84-39===106-11-93-47-18-16-38-10-104-33-65-34-54-48-7-30-98-99-88-102-55-37-21-90-80-83-50-92-58-4-63-56-26-35-43-62-67-12-82-61-78-105-22-79-94-36-32-76-20-101-66-23-68

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 68+107n.

Calculons 1/107 en base : 96, 203, 310, ...(96+107n) :

1/107 en base 96 = 0,0-86-12-53-79-81-61-87-2-66-37-65-47-52-89-69-8-7-17-4-46-62-77-15-24-21-51-13-43-92-39-45-72-64-57-40-35-85-22-41-26-1-76-25-11-63-67-27-78-5-36-75-34===95-9-83-42-16-14-34-8-93-29-58-30-48-43-6-26-87-88-78-91-49-33-18-80-71-74-44-82-52-3-56-50-23-31-38-55-60-10-73-54-69-94-19-70-84-32-28-68-17-90-59-20-61...

1/107 en base 203 = 0,1-182-26-113-168-172-130-184-5-140-79-138-100-111-189-146-17-15-36-9-98-132-163-32-51-45-108-28-92-195-83-96-153-136-121-85-75-180-47-87-55-3-161-53-24-134-142-58-165-11-77-159-73===201-20-176-89-34-30-72-18-197-62-123-64-102-91-13-56-185-187-166-193-104-70-39-170-151-157-94-174-110-7-119-106-49-66-81-117-127-22-155-115-147-199-41-149-178-68-60-144-37-191-125-43-129...

1/107 en base 310 = 0,2-278-40-173-257-263-199-281-8-214-121-211-153-170-289-223-26-23-55-14-150-202-249-49-78-69-165-43-141-298-127-147-234-208-185-130-115-275-72-133-84-5-246-81-37-205-217-89-252-17-118-243-112===307-31-269-136-52-46-110-28-301-95-188-98-156-139-20-86-283-286-254-295-159-107-60-260-231-240-144-266-168-11-182-162-75-101-124-179-194-34-237-176-225-304-63-228-272-104-92-220-57-292-191-66-197...

Et de manière générale en base 96+107n :

[n][86+96n][12+14n][53+60n][79+89n][81+91n][61+69n][87+97n][2+3n][66+74n][37+42n][65+73n][47+53n][52+59n][89+100n][69+77n][8+9n][7+8n][17+19n][4+5n][46+52n][62+70n][77+86n][15+17n][24+27n][21+24n][51+57n][13+15n][43+49n][92+103n][39+44n][45+51n][72+81n][64+72n][57+64n][40+45n][35+40n][85+95n][22+25n][41+46n][26+29n][1+2n][76+85n][25+28n][11+13n][63+71n][67+75n][27+31n][78+87n][5+6n][36+41n][75+84n][34+39n]===[95+106n][9+11n][83+93n][42+47n][16+18n][14+16n][34+38n][8+10n][93+104n][29+33n][58+65n][30+34n][48+54n][43+48n][6+7n][26+30n][87+98n][88+99n][78+88n][91+102n][49+55n][33+37n][18+21n][80+90n][71+80n][74+83n][44+50n][82+92n][52+58n][3+4n][56+63n][50+56n][23+26n][31+35n][38+43n][55+62n][60+67n][10+12n][73+82n][54+61n][69+78n][94+105n][19+22n][70+79n][84+94n][32+36n][28+32n][68+76n][17+20n][90+101n][59+66n][20+23n][61+68n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 96 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 68+107n.

Constatons que 68x96 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107