Calcul de 1/107 en base 71+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 71+107n se regroupent elles en cette série ?

1-71-12-103-37-59-16-66-85-43-57-88-42-93-76-46-56-17-30-97-39-94-40-58-52-54-89-6-105-72-83-8-33-96-75-82-44-21-100-38-23-28-62-15-102-73-47-20-29-26-27-98-3===106-36-95-4-70-48-91-41-22-64-50-19-65-14-31-61-51-90-77-10-68-13-67-49-55-53-18-101-2-35-24-99-74-11-32-25-63-86-7-69-84-79-45-92-5-34-60-87-78-81-80-9-104

Calculons 1/107 en base 71+107n (71, 178, 285, ...) :

1/107 en base 71 = 0,0-47-7-68-24-39-10-43-56-28-37-58-27-61-50-30-37-11-19-64-25-62-26-38-34-35-59-3-69-47-55-5-21-63-49-54-29-13-66-25-15-18-41-9-67-48-31-13-19-17-17-65-1===70-23-63-2-46-31-60-27-14-42-33-12-43-9-20-40-33-59-51-6-45-8-44-32-36-35-11-67-1-23-15-65-49-7-21-16-41-57-4-45-55-52-29-61-3-22-39-57-51-53-53-5-69...

1/107 en base 178 = 0,1-118-19-171-61-98-26-109-141-71-94-146-69-154-126-76-93-28-49-161-64-156-66-96-86-89-148-9-174-119-138-13-54-159-124-136-73-34-166-63-38-46-103-24-169-121-78-33-48-43-44-163-4===176-59-158-6-116-79-151-68-36-106-83-31-108-23-51-101-84-149-128-16-113-21-111-81-91-88-29-168-3-58-39-164-123-18-53-41-104-143-11-114-139-131-74-153-8-56-99-144-129-134-133-14-173...

1/107 en base 285 = 0,2-189-31-274-98-157-42-175-226-114-151-234-111-247-202-122-149-45-79-258-103-250-106-154-138-143-237-15-279-191-221-21-87-255-199-218-117-55-266-101-61-74-165-39-271-194-125-53-77-69-71-261-7===282-95-253-10-186-127-242-109-58-170-133-50-173-37-82-162-135-239-205-26-181-34-178-130-146-141-47-269-5-93-63-263-197-29-85-66-167-229-18-183-223-210-119-245-13-90-159-231-207-215-213-23-277...

Et de manière générale en base 71+107n :

[n][47+71n][7+12n][68+103n][24+37n][39+59n][10+16n][43+66n][56+85n][28+43n][37+57n][58+88n][27+42n][61+93n][50+76n][30+46n][37+56n][11+17n][19+30n][64+97n][25+39n][62+94n][26+40n][38+58n][34+52n][35+54n][59+89n][3+6n][69+105n][47+72n][55+83n][5+8n][21+33n][63+96n][49+75n][54+82n][29+44n][13+21n][66+100n][25+38n][15+23n][18+28n][41+62n][9+15n][67+102n][48+73n][31+47n][13+20n][19+29n][17+26n][17+27n][65+98n][1+3n]===[70+106n][23+36n][63+95n][2+4n][46+70n][31+48n][60+91n][27+41n][14+22n][42+64n][33+50n][12+19n][43+65n][9+14n][20+31n][40+61n][33+51n][59+90n][51+77n][6+10n][45+68n][8+13n][44+67n][32+49n][36+55n][35+53n][11+18n][67+101n][1+2n][23+35n][15+24n][65+99n][49+74n][7+11n][21+32n][16+25n][41+63n][57+86n][4+7n][45+69n][55+84n][52+79n][29+45n][61+92n][3+5n][22+34n][39+60n][57+87n][51+78n][53+81n][53+80n][5+9n][69+104n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 71 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 104+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 104+107n. La série est alors :

1-104-9-80-81-78-87-60-34-5-92-45-79-84-69-7-86-63-25-32-11-74-99-24-35-2-101-18-53-55-49-67-13-68-10-77-90-51-61-31-14-65-19-50-64-22-41-91-48-70-4-95-36===106-3-98-27-26-29-20-47-73-102-15-62-28-23-38-100-21-44-82-75-96-33-8-83-72-105-6-89-54-52-58-40-94-39-97-30-17-56-46-76-93-42-88-57-43-85-66-16-59-37-103-12-71

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 71+107n.

Calculons 1/107 en base : 104, 211, 318, ...(104+107n) :

1/107 en base 104 = 0,0-101-8-77-78-75-84-58-33-4-89-43-76-81-67-6-83-61-24-31-10-71-96-23-34-1-98-17-51-53-47-65-12-66-9-74-87-49-59-30-13-63-18-48-62-21-39-88-46-68-3-92-34===103-2-95-26-25-28-19-45-70-99-14-60-27-22-36-97-20-42-79-72-93-32-7-80-69-102-5-86-52-50-56-38-91-37-94-29-16-54-44-73-90-40-85-55-41-82-64-15-57-35-100-11-69...

1/107 en base 211 = 0,1-205-17-157-159-153-171-118-67-9-181-88-155-165-136-13-169-124-49-63-21-145-195-47-69-3-199-35-104-108-96-132-25-134-19-151-177-100-120-61-27-128-37-98-126-43-80-179-94-138-7-187-70===209-5-193-53-51-57-39-92-143-201-29-122-55-45-74-197-41-86-161-147-189-65-15-163-141-207-11-175-106-102-114-78-185-76-191-59-33-110-90-149-183-82-173-112-84-167-130-31-116-72-203-23-140...

1/107 en base 318 = 0,2-309-26-237-240-231-258-178-101-14-273-133-234-249-205-20-255-187-74-95-32-219-294-71-104-5-300-53-157-163-145-199-38-202-29-228-267-151-181-92-41-193-56-148-190-65-121-270-142-208-11-282-106===315-8-291-80-77-86-59-139-216-303-44-184-83-68-112-297-62-130-243-222-285-98-23-246-213-312-17-264-160-154-172-118-279-115-288-89-50-166-136-225-276-124-261-169-127-252-196-47-175-109-306-35-211...

Et de manière générale en base 104+107n :

[n][101+104n][8+9n][77+80n][78+81n][75+78n][84+87n][58+60n][33+34n][4+5n][89+92n][43+45n][76+79n][81+84n][67+69n][6+7n][83+86n][61+63n][24+25n][31+32n][10+11n][71+74n][96+99n][23+24n][34+35n][1+2n][98+101n][17+18n][51+53n][53+55n][47+49n][65+67n][12+13n][66+68n][9+10n][74+77n][87+90n][49+51n][59+61n][30+31n][13+14n][63+65n][18+19n][48+50n][62+64n][21+22n][39+41n][88+91n][46+48n][68+70n][3+4n][92+95n][34+36n]===[103+106n][2+3n][95+98n][26+27n][25+26n][28+29n][19+20n][45+47n][70+73n][99+102n][14+15n][60+62n][27+28n][22+23n][36+38n][97+100n][20+21n][42+44n][79+82n][72+75n][93+96n][32+33n][7+8n][80+83n][69+72n][102+105n][5+6n][86+89n][52+54n][50+52n][56+58n][38+40n][91+94n][37+39n][94+97n][29+30n][16+17n][54+56n][44+46n][73+76n][90+93n][40+42n][85+88n][55+57n][41+43n][82+85n][64+66n][15+16n][57+59n][35+37n][100+103n][11+12n][69+71n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 104 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 71+107n.

Constatons que 71x104 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107