Calcul de 1/107 en base 74+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 74+107n se regroupent elles en cette série ?

1-74-19-15-40-71-11-65-102-58-12-32-14-73-52-103-25-31-47-54-37-63-61-20-89-59-86-51-29-6-16-7-90-26-105-66-69-77-27-72-85-84-10-98-83-43-79-68-3-8-57-45-13===106-33-88-92-67-36-96-42-5-49-95-75-93-34-55-4-82-76-60-53-70-44-46-87-18-48-21-56-78-101-91-100-17-81-2-41-38-30-80-35-22-23-97-9-24-64-28-39-104-99-50-62-94

Calculons 1/107 en base 74+107n (74, 181, 288, ...) :

1/107 en base 74 = 0,0-51-13-10-27-49-7-44-70-40-8-22-9-50-35-71-17-21-32-37-25-43-42-13-61-40-59-35-20-4-11-4-62-17-72-45-47-53-18-49-58-58-6-67-57-29-54-47-2-5-39-31-8===73-22-60-63-46-24-66-29-3-33-65-51-64-23-38-2-56-52-41-36-48-30-31-60-12-33-14-38-53-69-62-69-11-56-1-28-26-20-55-24-15-15-67-6-16-44-19-26-71-68-34-42-65...

1/107 en base 181 = 0,1-125-32-25-67-120-18-109-172-98-20-54-23-123-87-174-42-52-79-91-62-106-103-33-150-99-145-86-49-10-27-11-152-43-177-111-116-130-45-121-143-142-16-165-140-72-133-115-5-13-96-76-21===179-55-148-155-113-60-162-71-8-82-160-126-157-57-93-6-138-128-101-89-118-74-77-147-30-81-35-94-131-170-153-169-28-137-3-69-64-50-135-59-37-38-164-15-40-108-47-65-175-167-84-104-159...

1/107 en base 288 = 0,2-199-51-40-107-191-29-174-274-156-32-86-37-196-139-277-67-83-126-145-99-169-164-53-239-158-231-137-78-16-43-18-242-69-282-177-185-207-72-193-228-226-26-263-223-115-212-183-8-21-153-121-34===285-88-236-247-180-96-258-113-13-131-255-201-250-91-148-10-220-204-161-142-188-118-123-234-48-129-56-150-209-271-244-269-45-218-5-110-102-80-215-94-59-61-261-24-64-172-75-104-279-266-134-166-253...

Et de manière générale en base 74+107n :

[n][51+74n][13+19n][10+15n][27+40n][49+71n][7+11n][44+65n][70+102n][40+58n][8+12n][22+32n][9+14n][50+73n][35+52n][71+103n][17+25n][21+31n][32+47n][37+54n][25+37n][43+63n][42+61n][13+20n][61+89n][40+59n][59+86n][35+51n][20+29n][4+6n][11+16n][4+7n][62+90n][17+26n][72+105n][45+66n][47+69n][53+77n][18+27n][49+72n][58+85n][58+84n][6+10n][67+98n][57+83n][29+43n][54+79n][47+68n][2+3n][5+8n][39+57n][31+45n][8+13n]===[73+106n][22+33n][60+88n][63+92n][46+67n][24+36n][66+96n][29+42n][3+5n][33+49n][65+95n][51+75n][64+93n][23+34n][38+55n][2+4n][56+82n][52+76n][41+60n][36+53n][48+70n][30+44n][31+46n][60+87n][12+18n][33+48n][14+21n][38+56n][53+78n][69+101n][62+91n][69+100n][11+17n][56+81n][1+2n][28+41n][26+38n][20+30n][55+80n][24+35n][15+22n][15+23n][67+97n][6+9n][16+24n][44+64n][19+28n][26+39n][71+104n][68+99n][34+50n][42+62n][65+94n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 94+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 94+107n. La série est alors :

1-94-62-50-99-104-39-28-64-24-9-97-23-22-35-80-30-38-41-2-81-17-100-91-101-78-56-21-48-18-87-46-44-70-53-60-76-82-4-55-34-93-75-95-49-5-42-96-36-67-92-88-33===106-13-45-57-8-3-68-79-43-83-98-10-84-85-72-27-77-69-66-105-26-90-7-16-6-29-51-86-59-89-20-61-63-37-54-47-31-25-103-52-73-14-32-12-58-102-65-11-71-40-15-19-74

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 74+107n.

Calculons 1/107 en base : 94, 201, 308, ...(94+107n) :

1/107 en base 94 = 0,0-82-54-43-86-91-34-24-56-21-7-85-20-19-30-70-26-33-36-1-71-14-87-79-88-68-49-18-42-15-76-40-38-61-46-52-66-72-3-48-29-81-65-83-43-4-36-84-31-58-80-77-28===93-11-39-50-7-2-59-69-37-72-86-8-73-74-63-23-67-60-57-92-22-79-6-14-5-25-44-75-51-78-17-53-55-32-47-41-27-21-90-45-64-12-28-10-50-89-57-9-62-35-13-16-65...

1/107 en base 201 = 0,1-176-116-93-185-195-73-52-120-45-16-182-43-41-65-150-56-71-77-3-152-31-187-170-189-146-105-39-90-33-163-86-82-131-99-112-142-154-7-103-63-174-140-178-92-9-78-180-67-125-172-165-61===199-24-84-107-15-5-127-148-80-155-184-18-157-159-135-50-144-129-123-197-48-169-13-30-11-54-95-161-110-167-37-114-118-69-101-88-58-46-193-97-137-26-60-22-108-191-122-20-133-75-28-35-139...

1/107 en base 308 = 0,2-270-178-143-284-299-112-80-184-69-25-279-66-63-100-230-86-109-118-5-233-48-287-261-290-224-161-60-138-51-250-132-126-201-152-172-218-236-11-158-97-267-215-273-141-14-120-276-103-192-264-253-94===305-37-129-164-23-8-195-227-123-238-282-28-241-244-207-77-221-198-189-302-74-259-20-46-17-83-146-247-169-256-57-175-181-106-155-135-89-71-296-149-210-40-92-34-166-293-187-31-204-115-43-54-213...

Et de manière générale en base 94+107n :

[n][82+94n][54+62n][43+50n][86+99n][91+104n][34+39n][24+28n][56+64n][21+24n][7+9n][85+97n][20+23n][19+22n][30+35n][70+80n][26+30n][33+38n][36+41n][1+2n][71+81n][14+17n][87+100n][79+91n][88+101n][68+78n][49+56n][18+21n][42+48n][15+18n][76+87n][40+46n][38+44n][61+70n][46+53n][52+60n][66+76n][72+82n][3+4n][48+55n][29+34n][81+93n][65+75n][83+95n][43+49n][4+5n][36+42n][84+96n][31+36n][58+67n][80+92n][77+88n][28+33n]===[93+106n][11+13n][39+45n][50+57n][7+8n][2+3n][59+68n][69+79n][37+43n][72+83n][86+98n][8+10n][73+84n][74+85n][63+72n][23+27n][67+77n][60+69n][57+66n][92+105n][22+26n][79+90n][6+7n][14+16n][5+6n][25+29n][44+51n][75+86n][51+59n][78+89n][17+20n][53+61n][55+63n][32+37n][47+54n][41+47n][27+31n][21+25n][90+103n][45+52n][64+73n][12+14n][28+32n][10+12n][50+58n][89+102n][57+65n][9+11n][62+71n][35+40n][13+15n][16+19n][65+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 94 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 74+107n.

Constatons que 74x94 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107