Calcul de 1/107 en base 77+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 77+107n se regroupent elles en cette série ?

1-77-44-71-10-21-12-68-100-103-13-38-37-67-23-59-49-28-16-55-62-66-53-15-85-18-102-43-101-73-57-2-47-88-35-20-42-24-29-93-99-26-76-74-27-46-11-98-56-32-3-17-25===106-30-63-36-97-86-95-39-7-4-94-69-70-40-84-48-58-79-91-52-45-41-54-92-22-89-5-64-6-34-50-105-60-19-72-87-65-83-78-14-8-81-31-33-80-61-96-9-51-75-104-90-82

Calculons 1/107 en base 77+107n (77, 184, 291, ...) :

1/107 en base 77 = 0,0-55-31-51-7-15-8-48-71-74-9-27-26-48-16-42-35-20-11-39-44-47-38-10-61-12-73-30-72-52-41-1-33-63-25-14-30-17-20-66-71-18-54-53-19-33-7-70-40-23-2-12-17===76-21-45-25-69-61-68-28-5-2-67-49-50-28-60-34-41-56-65-37-32-29-38-66-15-64-3-46-4-24-35-75-43-13-51-62-46-59-56-10-5-58-22-23-57-43-69-6-36-53-74-64-59...

1/107 en base 184 = 0,1-132-75-122-17-36-20-116-171-177-22-65-63-115-39-101-84-48-27-94-106-113-91-25-146-30-175-73-173-125-98-3-80-151-60-34-72-41-49-159-170-44-130-127-46-79-18-168-96-55-5-29-42===182-51-108-61-166-147-163-67-12-6-161-118-120-68-144-82-99-135-156-89-77-70-92-158-37-153-8-110-10-58-85-180-103-32-123-149-111-142-134-24-13-139-53-56-137-104-165-15-87-128-178-154-141...

1/107 en base 291 = 0,2-209-119-193-27-57-32-184-271-280-35-103-100-182-62-160-133-76-43-149-168-179-144-40-231-48-277-116-274-198-155-5-127-239-95-54-114-65-78-252-269-70-206-201-73-125-29-266-152-87-8-46-67===288-81-171-97-263-233-258-106-19-10-255-187-190-108-228-130-157-214-247-141-122-111-146-250-59-242-13-174-16-92-135-285-163-51-195-236-176-225-212-38-21-220-84-89-217-165-261-24-138-203-282-244-223...

Et de manière générale en base 77+107n :

[n][55+77n][31+44n][51+71n][7+10n][15+21n][8+12n][48+68n][71+100n][74+103n][9+13n][27+38n][26+37n][48+67n][16+23n][42+59n][35+49n][20+28n][11+16n][39+55n][44+62n][47+66n][38+53n][10+15n][61+85n][12+18n][73+102n][30+43n][72+101n][52+73n][41+57n][1+2n][33+47n][63+88n][25+35n][14+20n][30+42n][17+24n][20+29n][66+93n][71+99n][18+26n][54+76n][53+74n][19+27n][33+46n][7+11n][70+98n][40+56n][23+32n][2+3n][12+17n][17+25n]===[76+106n][21+30n][45+63n][25+36n][69+97n][61+86n][68+95n][28+39n][5+7n][2+4n][67+94n][49+69n][50+70n][28+40n][60+84n][34+48n][41+58n][56+79n][65+91n][37+52n][32+45n][29+41n][38+54n][66+92n][15+22n][64+89n][3+5n][46+64n][4+6n][24+34n][35+50n][75+105n][43+60n][13+19n][51+72n][62+87n][46+65n][59+83n][56+78n][10+14n][5+8n][58+81n][22+31n][23+33n][57+80n][43+61n][69+96n][6+9n][36+51n][53+75n][74+104n][64+90n][59+82n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 77 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 82+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 82+107n. La série est alors :

1-82-90-104-75-51-9-96-61-80-33-31-81-8-14-78-83-65-87-72-19-60-105-50-34-6-64-5-89-22-92-54-41-45-52-91-79-58-48-84-40-70-69-94-4-7-39-95-86-97-36-63-30===106-25-17-3-32-56-98-11-46-27-74-76-26-99-93-29-24-42-20-35-88-47-2-57-73-101-43-102-18-85-15-53-66-62-55-16-28-49-59-23-67-37-38-13-103-100-68-12-21-10-71-44-77

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 77+107n.

Calculons 1/107 en base : 82, 189, 296, ...(82+107n) :

1/107 en base 82 = 0,0-62-68-79-57-39-6-73-46-61-25-23-62-6-10-59-63-49-66-55-14-45-80-38-26-4-49-3-68-16-70-41-31-34-39-69-60-44-36-64-30-53-52-72-3-5-29-72-65-74-27-48-22===81-19-13-2-24-42-75-8-35-20-56-58-19-75-71-22-18-32-15-26-67-36-1-43-55-77-32-78-13-65-11-40-50-47-42-12-21-37-45-17-51-28-29-9-78-76-52-9-16-7-54-33-59...

1/107 en base 189 = 0,1-144-158-183-132-90-15-169-107-141-58-54-143-14-24-137-146-114-153-127-33-105-185-88-60-10-113-8-157-38-162-95-72-79-91-160-139-102-84-148-70-123-121-166-7-12-68-167-151-171-63-111-52===187-44-30-5-56-98-173-19-81-47-130-134-45-174-164-51-42-74-35-61-155-83-3-100-128-178-75-180-31-150-26-93-116-109-97-28-49-86-104-40-118-65-67-22-181-176-120-21-37-17-125-77-136...

1/107 en base 296 = 0,2-226-248-287-207-141-24-265-168-221-91-85-224-22-38-215-229-179-240-199-52-165-290-138-94-16-177-13-246-60-254-149-113-124-143-251-218-160-132-232-110-193-190-260-11-19-107-262-237-268-99-174-82===293-69-47-8-88-154-271-30-127-74-204-210-71-273-257-80-66-116-55-96-243-130-5-157-201-279-118-282-49-235-41-146-182-171-152-44-77-135-163-63-185-102-105-35-284-276-188-33-58-27-196-121-213...

Et de manière générale en base 82+107n :

[n][62+82n][68+90n][79+104n][57+75n][39+51n][6+9n][73+96n][46+61n][61+80n][25+33n][23+31n][62+81n][6+8n][10+14n][59+78n][63+83n][49+65n][66+87n][55+72n][14+19n][45+60n][80+105n][38+50n][26+34n][4+6n][49+64n][3+5n][68+89n][16+22n][70+92n][41+54n][31+41n][34+45n][39+52n][69+91n][60+79n][44+58n][36+48n][64+84n][30+40n][53+70n][52+69n][72+94n][3+4n][5+7n][29+39n][72+95n][65+86n][74+97n][27+36n][48+63n][22+30n]===[81+106n][19+25n][13+17n][2+3n][24+32n][42+56n][75+98n][8+11n][35+46n][20+27n][56+74n][58+76n][19+26n][75+99n][71+93n][22+29n][18+24n][32+42n][15+20n][26+35n][67+88n][36+47n][1+2n][43+57n][55+73n][77+101n][32+43n][78+102n][13+18n][65+85n][11+15n][40+53n][50+66n][47+62n][42+55n][12+16n][21+28n][37+49n][45+59n][17+23n][51+67n][28+37n][29+38n][9+13n][78+103n][76+100n][52+68n][9+12n][16+21n][7+10n][54+71n][33+44n][59+77n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 82 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 77+107n.

Constatons que 77x82 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107