Calcul de 1/107 en base 80+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 80+107n se regroupent elles en cette série ?

1-80-87-5-79-7-25-74-35-18-49-68-90-31-19-22-48-95-3-26-47-15-23-21-75-8-105-54-40-97-56-93-57-66-37-71-9-78-34-45-69-63-11-24-101-55-13-77-61-65-64-91-4===106-27-20-102-28-100-82-33-72-89-58-39-17-76-88-85-59-12-104-81-60-92-84-86-32-99-2-53-67-10-51-14-50-41-70-36-98-29-73-62-38-44-96-83-6-52-94-30-46-42-43-16-103

Calculons 1/107 en base 80+107n (80, 187, 294, ...) :

1/107 en base 80 = 0,0-59-65-3-59-5-18-55-26-13-36-50-67-23-14-16-35-71-2-19-35-11-17-15-56-5-78-40-29-72-41-69-42-49-27-53-6-58-25-33-51-47-8-17-75-41-9-57-45-48-47-68-2===79-20-14-76-20-74-61-24-53-66-43-29-12-56-65-63-44-8-77-60-44-68-62-64-23-74-1-39-50-7-38-10-37-30-52-26-73-21-54-46-28-32-71-62-4-38-70-22-34-31-32-11-77...

1/107 en base 187 = 0,1-139-152-8-138-12-43-129-61-31-85-118-157-54-33-38-83-166-5-45-82-26-40-36-131-13-183-94-69-169-97-162-99-115-64-124-15-136-59-78-120-110-19-41-176-96-22-134-106-113-111-159-6===185-47-34-178-48-174-143-57-125-155-101-68-29-132-153-148-103-20-181-141-104-160-146-150-55-173-3-92-117-17-89-24-87-71-122-62-171-50-127-108-66-76-167-145-10-90-164-52-80-73-75-27-180...

1/107 en base 294 = 0,2-219-239-13-217-19-68-203-96-49-134-186-247-85-52-60-131-261-8-71-129-41-63-57-206-21-288-148-109-266-153-255-156-181-101-195-24-214-93-123-189-173-30-65-277-151-35-211-167-178-175-250-10===291-74-54-280-76-274-225-90-197-244-159-107-46-208-241-233-162-32-285-222-164-252-230-236-87-272-5-145-184-27-140-38-137-112-192-98-269-79-200-170-104-120-263-228-16-142-258-82-126-115-118-43-283...

Et de manière générale en base 80+107n :

[n][59+80n][65+87n][3+5n][59+79n][5+7n][18+25n][55+74n][26+35n][13+18n][36+49n][50+68n][67+90n][23+31n][14+19n][16+22n][35+48n][71+95n][2+3n][19+26n][35+47n][11+15n][17+23n][15+21n][56+75n][5+8n][78+105n][40+54n][29+40n][72+97n][41+56n][69+93n][42+57n][49+66n][27+37n][53+71n][6+9n][58+78n][25+34n][33+45n][51+69n][47+63n][8+11n][17+24n][75+101n][41+55n][9+13n][57+77n][45+61n][48+65n][47+64n][68+91n][2+4n]===[79+106n][20+27n][14+20n][76+102n][20+28n][74+100n][61+82n][24+33n][53+72n][66+89n][43+58n][29+39n][12+17n][56+76n][65+88n][63+85n][44+59n][8+12n][77+104n][60+81n][44+60n][68+92n][62+84n][64+86n][23+32n][74+99n][1+2n][39+53n][50+67n][7+10n][38+51n][10+14n][37+50n][30+41n][52+70n][26+36n][73+98n][21+29n][54+73n][46+62n][28+38n][32+44n][71+96n][62+83n][4+6n][38+52n][70+94n][22+30n][34+46n][31+42n][32+43n][11+16n][77+103n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 80 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 103+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 103+107n. La série est alors :

1-103-16-43-42-46-30-94-52-6-83-96-44-38-62-73-29-98-36-70-41-50-14-51-10-67-53-2-99-32-86-84-92-60-81-104-12-59-85-88-76-17-39-58-89-72-33-82-100-28-102-20-27===106-4-91-64-65-61-77-13-55-101-24-11-63-69-45-34-78-9-71-37-66-57-93-56-97-40-54-105-8-75-21-23-15-47-26-3-95-48-22-19-31-90-68-49-18-35-74-25-7-79-5-87-80

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 80+107n.

Calculons 1/107 en base : 103, 210, 317, ...(103+107n) :

1/107 en base 103 = 0,0-99-15-41-40-44-28-90-50-5-79-92-42-36-59-70-27-94-34-67-39-48-13-49-9-64-51-1-95-30-82-80-88-57-77-100-11-56-81-84-73-16-37-55-85-69-31-78-96-26-98-19-25===102-3-87-61-62-58-74-12-52-97-23-10-60-66-43-32-75-8-68-35-63-54-89-53-93-38-51-101-7-72-20-22-14-45-25-2-91-46-21-18-29-86-65-47-17-33-71-24-6-76-4-83-77...

1/107 en base 210 = 0,1-202-31-84-82-90-58-184-102-11-162-188-86-74-121-143-56-192-70-137-80-98-27-100-19-131-104-3-194-62-168-164-180-117-158-204-23-115-166-172-149-33-76-113-174-141-64-160-196-54-200-39-52===208-7-178-125-127-119-151-25-107-198-47-21-123-135-88-66-153-17-139-72-129-111-182-109-190-78-105-206-15-147-41-45-29-92-51-5-186-94-43-37-60-176-133-96-35-68-145-49-13-155-9-170-157...

1/107 en base 317 = 0,2-305-47-127-124-136-88-278-154-17-245-284-130-112-183-216-85-290-106-207-121-148-41-151-29-198-157-5-293-94-254-248-272-177-239-308-35-174-251-260-225-50-115-171-263-213-97-242-296-82-302-59-79===314-11-269-189-192-180-228-38-162-299-71-32-186-204-133-100-231-26-210-109-195-168-275-165-287-118-159-311-23-222-62-68-44-139-77-8-281-142-65-56-91-266-201-145-53-103-219-74-20-234-14-257-237...

Et de manière générale en base 103+107n :

[n][99+103n][15+16n][41+43n][40+42n][44+46n][28+30n][90+94n][50+52n][5+6n][79+83n][92+96n][42+44n][36+38n][59+62n][70+73n][27+29n][94+98n][34+36n][67+70n][39+41n][48+50n][13+14n][49+51n][9+10n][64+67n][51+53n][1+2n][95+99n][30+32n][82+86n][80+84n][88+92n][57+60n][77+81n][100+104n][11+12n][56+59n][81+85n][84+88n][73+76n][16+17n][37+39n][55+58n][85+89n][69+72n][31+33n][78+82n][96+100n][26+28n][98+102n][19+20n][25+27n]===[102+106n][3+4n][87+91n][61+64n][62+65n][58+61n][74+77n][12+13n][52+55n][97+101n][23+24n][10+11n][60+63n][66+69n][43+45n][32+34n][75+78n][8+9n][68+71n][35+37n][63+66n][54+57n][89+93n][53+56n][93+97n][38+40n][51+54n][101+105n][7+8n][72+75n][20+21n][22+23n][14+15n][45+47n][25+26n][2+3n][91+95n][46+48n][21+22n][18+19n][29+31n][86+90n][65+68n][47+49n][17+18n][33+35n][71+74n][24+25n][6+7n][76+79n][4+5n][83+87n][77+80n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 103 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 80+107n.

Constatons que 80x103 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107