Calcul de 1/107 en base 84+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 84+107n se regroupent elles en cette série ?

1-84-101-31-36-28-105-46-12-45-35-51-4-15-83-17-37-5-99-77-48-73-33-97-16-60-11-68-41-20-75-94-85-78-25-67-64-26-44-58-57-80-86-55-19-98-100-54-42-104-69-18-14===106-23-6-76-71-79-2-61-95-62-72-56-103-92-24-90-70-102-8-30-59-34-74-10-91-47-96-39-66-87-32-13-22-29-82-40-43-81-63-49-50-27-21-52-88-9-7-53-65-3-38-89-93

Calculons 1/107 en base 84+107n (84, 191, 298, ...) :

1/107 en base 84 = 0,0-65-79-24-28-21-82-36-9-35-27-40-3-11-65-13-29-3-77-60-37-57-25-76-12-47-8-53-32-15-58-73-66-61-19-52-50-20-34-45-44-62-67-43-14-76-78-42-32-81-54-14-10===83-18-4-59-55-62-1-47-74-48-56-43-80-72-18-70-54-80-6-23-46-26-58-7-71-36-75-30-51-68-25-10-17-22-64-31-33-63-49-38-39-21-16-40-69-7-5-41-51-2-29-69-73...

1/107 en base 191 = 0,1-149-180-55-64-49-187-82-21-80-62-91-7-26-148-30-66-8-176-137-85-130-58-173-28-107-19-121-73-35-133-167-151-139-44-119-114-46-78-103-101-142-153-98-33-174-178-96-74-185-123-32-24===189-41-10-135-126-141-3-108-169-110-128-99-183-164-42-160-124-182-14-53-105-60-132-17-162-83-171-69-117-155-57-23-39-51-146-71-76-144-112-87-89-48-37-92-157-16-12-94-116-5-67-158-166...

1/107 en base 298 = 0,2-233-281-86-100-77-292-128-33-125-97-142-11-41-231-47-103-13-275-214-133-203-91-270-44-167-30-189-114-55-208-261-236-217-69-186-178-72-122-161-158-222-239-153-52-272-278-150-116-289-192-50-38===295-64-16-211-197-220-5-169-264-172-200-155-286-256-66-250-194-284-22-83-164-94-206-27-253-130-267-108-183-242-89-36-61-80-228-111-119-225-175-136-139-75-58-144-245-25-19-147-181-8-105-247-259...

Et de manière générale en base 84+107n :

[n][65+84n][79+101n][24+31n][28+36n][21+28n][82+105n][36+46n][9+12n][35+45n][27+35n][40+51n][3+4n][11+15n][65+83n][13+17n][29+37n][3+5n][77+99n][60+77n][37+48n][57+73n][25+33n][76+97n][12+16n][47+60n][8+11n][53+68n][32+41n][15+20n][58+75n][73+94n][66+85n][61+78n][19+25n][52+67n][50+64n][20+26n][34+44n][45+58n][44+57n][62+80n][67+86n][43+55n][14+19n][76+98n][78+100n][42+54n][32+42n][81+104n][54+69n][14+18n][10+14n]===[83+106n][18+23n][4+6n][59+76n][55+71n][62+79n][1+2n][47+61n][74+95n][48+62n][56+72n][43+56n][80+103n][72+92n][18+24n][70+90n][54+70n][80+102n][6+8n][23+30n][46+59n][26+34n][58+74n][7+10n][71+91n][36+47n][75+96n][30+39n][51+66n][68+87n][25+32n][10+13n][17+22n][22+29n][64+82n][31+40n][33+43n][63+81n][49+63n][38+49n][39+50n][21+27n][16+21n][40+52n][69+88n][7+9n][5+7n][41+53n][51+65n][2+3n][29+38n][69+89n][73+93n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 84 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 93+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 93+107n. La série est alors :

1-93-89-38-3-65-53-7-9-88-52-21-27-50-49-63-81-43-40-82-29-22-13-32-87-66-39-96-47-91-10-74-34-59-30-8-102-70-90-24-92-103-56-72-62-95-61-2-79-71-76-6-23===106-14-18-69-104-42-54-100-98-19-55-86-80-57-58-44-26-64-67-25-78-85-94-75-20-41-68-11-60-16-97-33-73-48-77-99-5-37-17-83-15-4-51-35-45-12-46-105-28-36-31-101-84

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 84+107n.

Calculons 1/107 en base : 93, 200, 307, ...(93+107n) :

1/107 en base 93 = 0,0-80-77-33-2-56-46-6-7-76-45-18-23-43-42-54-70-37-34-71-25-19-11-27-75-57-33-83-40-79-8-64-29-51-26-6-88-60-78-20-79-89-48-62-53-82-53-1-68-61-66-5-19===92-12-15-59-90-36-46-86-85-16-47-74-69-49-50-38-22-55-58-21-67-73-81-65-17-35-59-9-52-13-84-28-63-41-66-86-4-32-14-72-13-3-44-30-39-10-39-91-24-31-26-87-73...

1/107 en base 200 = 0,1-173-166-71-5-121-99-13-16-164-97-39-50-93-91-117-151-80-74-153-54-41-24-59-162-123-72-179-87-170-18-138-63-110-56-14-190-130-168-44-171-192-104-134-115-177-114-3-147-132-142-11-42===198-26-33-128-194-78-100-186-183-35-102-160-149-106-108-82-48-119-125-46-145-158-175-140-37-76-127-20-112-29-181-61-136-89-143-185-9-69-31-155-28-7-95-65-84-22-85-196-52-67-57-188-157...

1/107 en base 307 = 0,2-266-255-109-8-186-152-20-25-252-149-60-77-143-140-180-232-123-114-235-83-63-37-91-249-189-111-275-134-261-28-212-97-169-86-22-292-200-258-68-263-295-160-206-177-272-175-5-226-203-218-17-65===304-40-51-197-298-120-154-286-281-54-157-246-229-163-166-126-74-183-192-71-223-243-269-215-57-117-195-31-172-45-278-94-209-137-220-284-14-106-48-238-43-11-146-100-129-34-131-301-80-103-88-289-241...

Et de manière générale en base 93+107n :

[n][80+93n][77+89n][33+38n][2+3n][56+65n][46+53n][6+7n][7+9n][76+88n][45+52n][18+21n][23+27n][43+50n][42+49n][54+63n][70+81n][37+43n][34+40n][71+82n][25+29n][19+22n][11+13n][27+32n][75+87n][57+66n][33+39n][83+96n][40+47n][79+91n][8+10n][64+74n][29+34n][51+59n][26+30n][6+8n][88+102n][60+70n][78+90n][20+24n][79+92n][89+103n][48+56n][62+72n][53+62n][82+95n][53+61n][1+2n][68+79n][61+71n][66+76n][5+6n][19+23n]===[92+106n][12+14n][15+18n][59+69n][90+104n][36+42n][46+54n][86+100n][85+98n][16+19n][47+55n][74+86n][69+80n][49+57n][50+58n][38+44n][22+26n][55+64n][58+67n][21+25n][67+78n][73+85n][81+94n][65+75n][17+20n][35+41n][59+68n][9+11n][52+60n][13+16n][84+97n][28+33n][63+73n][41+48n][66+77n][86+99n][4+5n][32+37n][14+17n][72+83n][13+15n][3+4n][44+51n][30+35n][39+45n][10+12n][39+46n][91+105n][24+28n][31+36n][26+31n][87+101n][73+84n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 93 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 84+107n.

Constatons que 84x93 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107