Calcul de 1/107 en base 95+107n.

Pourquoi les périodes de n/107 en base 95+107n se regroupent elles en cette série ?

1-95-37-91-85-50-42-31-56-77-39-67-52-18-105-24-33-32-44-7-23-45-102-60-29-80-3-71-4-59-41-43-19-93-61-17-10-94-49-54-101-72-99-96-25-21-69-28-92-73-87-26-9===106-12-70-16-22-57-65-76-51-30-68-40-55-89-2-83-74-75-63-100-84-62-5-47-78-27-104-36-103-48-66-64-88-14-46-90-97-13-58-53-6-35-8-11-82-86-38-79-15-34-20-81-98

Calculons 1/107 en base 95+107n (95, 202, 309, ...) :

1/107 en base 95 = 0,0-84-32-80-75-44-37-27-49-68-34-59-46-15-93-21-29-28-39-6-20-39-90-53-25-71-2-63-3-52-36-38-16-82-54-15-8-83-43-47-89-63-87-85-22-18-61-24-81-64-77-23-7===94-10-62-14-19-50-57-67-45-26-60-35-48-79-1-73-65-66-55-88-74-55-4-41-69-23-92-31-91-42-58-56-78-12-40-79-86-11-51-47-5-31-7-9-72-76-33-70-13-30-17-71-87...

1/107 en base 202 = 0,1-179-69-171-160-94-79-58-105-145-73-126-98-33-198-45-62-60-83-13-43-84-192-113-54-151-5-134-7-111-77-81-35-175-115-32-18-177-92-101-190-135-186-181-47-39-130-52-173-137-164-49-16===200-22-132-30-41-107-122-143-96-56-128-75-103-168-3-156-139-141-118-188-158-117-9-88-147-50-196-67-194-90-124-120-166-26-86-169-183-24-109-100-11-66-15-20-154-162-71-149-28-64-37-152-185...

1/107 en base 309 = 0,2-274-106-262-245-144-121-89-161-222-112-193-150-51-303-69-95-92-127-20-66-129-294-173-83-231-8-205-11-170-118-124-54-268-176-49-28-271-141-155-291-207-285-277-72-60-199-80-265-210-251-75-25===306-34-202-46-63-164-187-219-147-86-196-115-158-257-5-239-213-216-181-288-242-179-14-135-225-77-300-103-297-138-190-184-254-40-132-259-280-37-167-153-17-101-23-31-236-248-109-228-43-98-57-233-283...

Et de manière générale en base 95+107n :

[n][84+95n][32+37n][80+91n][75+85n][44+50n][37+42n][27+31n][49+56n][68+77n][34+39n][59+67n][46+52n][15+18n][93+105n][21+24n][29+33n][28+32n][39+44n][6+7n][20+23n][39+45n][90+102n][53+60n][25+29n][71+80n][2+3n][63+71n][3+4n][52+59n][36+41n][38+43n][16+19n][82+93n][54+61n][15+17n][8+10n][83+94n][43+49n][47+54n][89+101n][63+72n][87+99n][85+96n][22+25n][18+21n][61+69n][24+28n][81+92n][64+73n][77+87n][23+26n][7+9n]===[94+106n][10+12n][62+70n][14+16n][19+22n][50+57n][57+65n][67+76n][45+51n][26+30n][60+68n][35+40n][48+55n][79+89n][1+2n][73+83n][65+74n][66+75n][55+63n][88+100n][74+84n][55+62n][4+5n][41+47n][69+78n][23+27n][92+104n][31+36n][91+103n][42+48n][58+66n][56+64n][78+88n][12+14n][40+46n][79+90n][86+97n][11+13n][51+58n][47+53n][5+6n][31+35n][7+8n][9+11n][72+82n][76+86n][33+38n][70+79n][13+15n][30+34n][17+20n][71+81n][87+98n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 95 modulo 107

Calcul de 1/107 en base 98+107n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 98+107n. La série est alors :

1-98-81-20-34-15-79-38-86-82-11-8-35-6-53-58-13-97-90-46-14-88-64-66-48-103-36-104-27-78-47-5-62-84-100-63-75-74-83-2-89-55-40-68-30-51-76-65-57-22-16-70-12===106-9-26-87-73-92-28-69-21-25-96-99-72-101-54-49-94-10-17-61-93-19-43-41-59-4-71-3-80-29-60-102-45-23-7-44-32-33-24-105-18-52-67-39-77-56-31-42-50-85-91-37-95

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 95+107n.

Calculons 1/107 en base : 98, 205, 312, ...(98+107n) :

1/107 en base 98 = 0,0-89-74-18-31-13-72-34-78-75-10-7-32-5-48-53-11-88-82-42-12-80-58-60-43-94-32-95-24-71-43-4-56-76-91-57-68-67-76-1-81-50-36-62-27-46-69-59-52-20-14-64-10===97-8-23-79-66-84-25-63-19-22-87-90-65-92-49-44-86-9-15-55-85-17-39-37-54-3-65-2-73-26-54-93-41-21-6-40-29-30-21-96-16-47-61-35-70-51-28-38-45-77-83-33-87...

1/107 en base 205 = 0,1-187-155-38-65-28-151-72-164-157-21-15-67-11-101-111-24-185-172-88-26-168-122-126-91-197-68-199-51-149-90-9-118-160-191-120-143-141-159-3-170-105-76-130-57-97-145-124-109-42-30-134-22===203-17-49-166-139-176-53-132-40-47-183-189-137-193-103-93-180-19-32-116-178-36-82-78-113-7-136-5-153-55-114-195-86-44-13-84-61-63-45-201-34-99-128-74-147-107-59-80-95-162-174-70-182...

1/107 en base 312 = 0,2-285-236-58-99-43-230-110-250-239-32-23-102-17-154-169-37-282-262-134-40-256-186-192-139-300-104-303-78-227-137-14-180-244-291-183-218-215-242-5-259-160-116-198-87-148-221-189-166-64-46-204-34===309-26-75-253-212-268-81-201-61-72-279-288-209-294-157-142-274-29-49-177-271-55-125-119-172-11-207-8-233-84-174-297-131-67-20-128-93-96-69-306-52-151-195-113-224-163-90-122-145-247-265-107-277...

Et de manière générale en base 98+107n :

[n][89+98n][74+81n][18+20n][31+34n][13+15n][72+79n][34+38n][78+86n][75+82n][10+11n][7+8n][32+35n][5+6n][48+53n][53+58n][11+13n][88+97n][82+90n][42+46n][12+14n][80+88n][58+64n][60+66n][43+48n][94+103n][32+36n][95+104n][24+27n][71+78n][43+47n][4+5n][56+62n][76+84n][91+100n][57+63n][68+75n][67+74n][76+83n][1+2n][81+89n][50+55n][36+40n][62+68n][27+30n][46+51n][69+76n][59+65n][52+57n][20+22n][14+16n][64+70n][10+12n]===[97+106n][8+9n][23+26n][79+87n][66+73n][84+92n][25+28n][63+69n][19+21n][22+25n][87+96n][90+99n][65+72n][92+101n][49+54n][44+49n][86+94n][9+10n][15+17n][55+61n][85+93n][17+19n][39+43n][37+41n][54+59n][3+4n][65+71n][2+3n][73+80n][26+29n][54+60n][93+102n][41+45n][21+23n][6+7n][40+44n][29+32n][30+33n][21+24n][96+105n][16+18n][47+52n][61+67n][35+39n][70+77n][51+56n][28+31n][38+42n][45+50n][77+85n][83+91n][33+37n][87+95n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 107 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 98 modulo 107

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 95+107n.

Constatons que 95x98 admet 1 pour reste dans la division par 107 et qu'ils sont alors inverses dans Z107