Calcul de 1/109 en base 6+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 6+109n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-107-97-37-4-24-35-101-61-39-16-96-31-77-26-47-64-57-15-90-104-79-38-10-60-33-89-98-43-40-22-23-29-65-63-51-88-92-7-42-34-95-25-41-28-59-27-53-100-55-3-18===108-103-73-2-12-72-105-85-74-8-48-70-93-13-78-32-83-62-45-52-94-19-5-30-71-99-49-76-20-11-66-69-87-86-80-44-46-58-21-17-102-67-75-14-84-68-81-50-82-56-9-54-106-91

Calculons 1/109 en base 6+109n (6, 115, 224, ...) :

1/109 en base 6 = 0,001552011532051412330454203145221113324502151213125300===554003544023504143225101352410334442231053404342430255...

1/109 en base 115 = 0,1-6-37-112-102-39-4-25-36-106-64-41-16-101-32-81-27-49-67-60-15-94-109-83-40-10-63-34-93-103-45-42-23-24-30-68-66-53-92-97-7-44-35-100-26-43-29-62-28-55-105-58-3-18===113-108-77-2-12-75-110-89-78-8-50-73-98-13-82-33-87-65-47-54-99-20-5-31-74-104-51-80-21-11-69-72-91-90-84-46-48-61-22-17-107-70-79-14-88-71-85-52-86-59-9-56-111-96...

1/109 en base 224 = 0,2-12-73-219-199-76-8-49-71-207-125-80-32-197-63-158-53-96-131-117-30-184-213-162-78-20-123-67-182-201-88-82-45-47-59-133-129-104-180-189-14-86-69-195-51-84-57-121-55-108-205-113-6-36===221-211-150-4-24-147-215-174-152-16-98-143-191-26-160-65-170-127-92-106-193-39-10-61-145-203-100-156-41-22-135-141-178-176-164-90-94-119-43-34-209-137-154-28-172-139-166-102-168-115-18-110-217-187...

Et de manière générale en base 6+109n :

[n][6n][1+36n][5+107n][5+97n][2+37n][4n][1+24n][1+35n][5+101n][3+61n][2+39n][16n][5+96n][1+31n][4+77n][1+26n][2+47n][3+64n][3+57n][15n][4+90n][5+104n][4+79n][2+38n][10n][3+60n][1+33n][4+89n][5+98n][2+43n][2+40n][1+22n][1+23n][1+29n][3+65n][3+63n][2+51n][4+88n][5+92n][7n][2+42n][1+34n][5+95n][1+25n][2+41n][1+28n][3+59n][1+27n][2+53n][5+100n][3+55n][3n][18n]===[5+108n][5+103n][4+73n][2n][12n][3+72n][5+105n][4+85n][4+74n][8n][2+48n][3+70n][5+93n][13n][4+78n][1+32n][4+83n][3+62n][2+45n][2+52n][5+94n][1+19n][5n][1+30n][3+71n][5+99n][2+49n][4+76n][1+20n][11n][3+66n][3+69n][4+87n][4+86n][4+80n][2+44n][2+46n][3+58n][1+21n][17n][5+102n][3+67n][4+75n][14n][4+84n][3+68n][4+81n][2+50n][4+82n][3+56n][9n][2+54n][5+106n][5+91n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 91+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 91+109n. La série est alors :

1-91-106-54-9-56-82-50-81-68-84-14-75-67-102-17-21-58-46-44-80-86-87-69-66-11-20-76-49-99-71-30-5-19-94-52-45-62-83-32-78-13-93-70-48-8-74-85-105-72-12-2-73-103===108-18-3-55-100-53-27-59-28-41-25-95-34-42-7-92-88-51-63-65-29-23-22-40-43-98-89-33-60-10-38-79-104-90-15-57-64-47-26-77-31-96-16-39-61-101-35-24-4-37-97-107-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+109n.

Calculons 1/109 en base : 91, 200, 309, ...(91+109n) :

1/109 en base 91 = 0,0-75-88-45-7-46-68-41-67-56-70-11-62-55-85-14-17-48-38-36-66-71-72-57-55-9-16-63-40-82-59-25-4-15-78-43-37-51-69-26-65-10-77-58-40-6-61-70-87-60-10-1-60-85===90-15-2-45-83-44-22-49-23-34-20-79-28-35-5-76-73-42-52-54-24-19-18-33-35-81-74-27-50-8-31-65-86-75-12-47-53-39-21-64-25-80-13-32-50-84-29-20-3-30-80-89-30-5...

1/109 en base 200 = 0,1-166-194-99-16-102-150-91-148-124-154-25-137-122-187-31-38-106-84-80-146-157-159-126-121-20-36-139-89-181-130-55-9-34-172-95-82-113-152-58-143-23-170-128-88-14-135-155-192-132-22-3-133-188===198-33-5-100-183-97-49-108-51-75-45-174-62-77-12-168-161-93-115-119-53-42-40-73-78-179-163-60-110-18-69-144-190-165-27-104-117-86-47-141-56-176-29-71-111-185-64-44-7-67-177-196-66-11...

1/109 en base 309 = 0,2-257-300-153-25-158-232-141-229-192-238-39-212-189-289-48-59-164-130-124-226-243-246-195-187-31-56-215-138-280-201-85-14-53-266-147-127-175-235-90-221-36-263-198-136-22-209-240-297-204-34-5-206-291===306-51-8-155-283-150-76-167-79-116-70-269-96-119-19-260-249-144-178-184-82-65-62-113-121-277-252-93-170-28-107-223-294-255-42-161-181-133-73-218-87-272-45-110-172-286-99-68-11-104-274-303-102-17...

Et de manière générale en base 91+109n :

[n][75+91n][88+106n][45+54n][7+9n][46+56n][68+82n][41+50n][67+81n][56+68n][70+84n][11+14n][62+75n][55+67n][85+102n][14+17n][17+21n][48+58n][38+46n][36+44n][66+80n][71+86n][72+87n][57+69n][55+66n][9+11n][16+20n][63+76n][40+49n][82+99n][59+71n][25+30n][4+5n][15+19n][78+94n][43+52n][37+45n][51+62n][69+83n][26+32n][65+78n][10+13n][77+93n][58+70n][40+48n][6+8n][61+74n][70+85n][87+105n][60+72n][10+12n][1+2n][60+73n][85+103n]===[90+108n][15+18n][2+3n][45+55n][83+100n][44+53n][22+27n][49+59n][23+28n][34+41n][20+25n][79+95n][28+34n][35+42n][5+7n][76+92n][73+88n][42+51n][52+63n][54+65n][24+29n][19+23n][18+22n][33+40n][35+43n][81+98n][74+89n][27+33n][50+60n][8+10n][31+38n][65+79n][86+104n][75+90n][12+15n][47+57n][53+64n][39+47n][21+26n][64+77n][25+31n][80+96n][13+16n][32+39n][50+61n][84+101n][29+35n][20+24n][3+4n][30+37n][80+97n][89+107n][30+36n][5+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 91 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+109n.

Constatons que 6x91 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109