Calcul de 1/109 en base 10+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 10+109n se regroupent elles en cette série ?

1-10-100-19-81-47-34-13-21-101-29-72-66-6-60-55-5-50-64-95-78-17-61-65-105-69-36-33-3-30-82-57-25-32-102-39-63-85-87-107-89-18-71-56-15-41-83-67-16-51-74-86-97-98===108-99-9-90-28-62-75-96-88-8-80-37-43-103-49-54-104-59-45-14-31-92-48-44-4-40-73-76-106-79-27-52-84-77-7-70-46-24-22-2-20-91-38-53-94-68-26-42-93-58-35-23-12-11

Calculons 1/109 en base 10+109n (10, 119, 228, ...) :

1/109 en base 10 = 0,009174311926605504587155963302752293577981651376146788===990825688073394495412844036697247706422018348623853211...

1/109 en base 119 = 0,1-10-109-20-88-51-37-14-22-110-31-78-72-6-65-60-5-54-69-103-85-18-66-70-114-75-39-36-3-32-89-62-27-34-111-42-68-92-94-116-97-19-77-61-16-44-90-73-17-55-80-93-105-106===117-108-9-98-30-67-81-104-96-8-87-40-46-112-53-58-113-64-49-15-33-100-52-48-4-43-79-82-115-86-29-56-91-84-7-76-50-26-24-2-21-99-41-57-102-74-28-45-101-63-38-25-13-12...

1/109 en base 228 = 0,2-20-209-39-169-98-71-27-43-211-60-150-138-12-125-115-10-104-133-198-163-35-127-135-219-144-75-69-6-62-171-119-52-66-213-81-131-177-181-223-186-37-148-117-31-85-173-140-33-106-154-179-202-204===225-207-18-188-58-129-156-200-184-16-167-77-89-215-102-112-217-123-94-29-64-192-100-92-8-83-152-158-221-165-56-108-175-161-14-146-96-50-46-4-41-190-79-110-196-142-54-87-194-121-73-48-25-23...

Et de manière générale en base 10+109n :

[n][10n][9+100n][1+19n][7+81n][4+47n][3+34n][1+13n][1+21n][9+101n][2+29n][6+72n][6+66n][6n][5+60n][5+55n][5n][4+50n][5+64n][8+95n][7+78n][1+17n][5+61n][5+65n][9+105n][6+69n][3+36n][3+33n][3n][2+30n][7+82n][5+57n][2+25n][2+32n][9+102n][3+39n][5+63n][7+85n][7+87n][9+107n][8+89n][1+18n][6+71n][5+56n][1+15n][3+41n][7+83n][6+67n][1+16n][4+51n][6+74n][7+86n][8+97n][8+98n]===[9+108n][9+99n][9n][8+90n][2+28n][5+62n][6+75n][8+96n][8+88n][8n][7+80n][3+37n][3+43n][9+103n][4+49n][4+54n][9+104n][5+59n][4+45n][1+14n][2+31n][8+92n][4+48n][4+44n][4n][3+40n][6+73n][6+76n][9+106n][7+79n][2+27n][4+52n][7+84n][7+77n][7n][6+70n][4+46n][2+24n][2+22n][2n][1+20n][8+91n][3+38n][4+53n][8+94n][6+68n][2+26n][3+42n][8+93n][5+58n][3+35n][2+23n][1+12n][1+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 11+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 11+109n. La série est alors :

1-11-12-23-35-58-93-42-26-68-94-53-38-91-20-2-22-24-46-70-7-77-84-52-27-79-106-76-73-40-4-44-48-92-31-14-45-59-104-54-49-103-43-37-80-8-88-96-75-62-28-90-9-99===108-98-97-86-74-51-16-67-83-41-15-56-71-18-89-107-87-85-63-39-102-32-25-57-82-30-3-33-36-69-105-65-61-17-78-95-64-50-5-55-60-6-66-72-29-101-21-13-34-47-81-19-100-10

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 10+109n.

Calculons 1/109 en base : 11, 120, 229, ...(11+109n) :

1/109 en base 11 = 0,0-1-1-2-3-5-9-4-2-6-9-5-3-9-2-0-2-2-4-7-0-7-8-5-2-7-10-7-7-4-0-4-4-9-3-1-4-5-10-5-4-10-4-3-8-0-8-9-7-6-2-9-0-9===10-9-9-8-7-5-1-6-8-4-1-5-7-1-8-10-8-8-6-3-10-3-2-5-8-3-0-3-3-6-10-6-6-1-7-9-6-5-0-5-6-0-6-7-2-10-2-1-3-4-8-1-10-1...

1/109 en base 120 = 0,1-12-13-25-38-63-102-46-28-74-103-58-41-100-22-2-24-26-50-77-7-84-92-57-29-86-116-83-80-44-4-48-52-101-34-15-49-64-114-59-53-113-47-40-88-8-96-105-82-68-30-99-9-108===118-107-106-94-81-56-17-73-91-45-16-61-78-19-97-117-95-93-69-42-112-35-27-62-90-33-3-36-39-75-115-71-67-18-85-104-70-55-5-60-66-6-72-79-31-111-23-14-37-51-89-20-110-11...

1/109 en base 229 = 0,2-23-25-48-73-121-195-88-54-142-197-111-79-191-42-4-46-50-96-147-14-161-176-109-56-165-222-159-153-84-8-92-100-193-65-29-94-123-218-113-102-216-90-77-168-16-184-201-157-130-58-189-18-207===226-205-203-180-155-107-33-140-174-86-31-117-149-37-186-224-182-178-132-81-214-67-52-119-172-63-6-69-75-144-220-136-128-35-163-199-134-105-10-115-126-12-138-151-60-212-44-27-71-98-170-39-210-21...

Et de manière générale en base 11+109n :

[n][1+11n][1+12n][2+23n][3+35n][5+58n][9+93n][4+42n][2+26n][6+68n][9+94n][5+53n][3+38n][9+91n][2+20n][2n][2+22n][2+24n][4+46n][7+70n][7n][7+77n][8+84n][5+52n][2+27n][7+79n][10+106n][7+76n][7+73n][4+40n][4n][4+44n][4+48n][9+92n][3+31n][1+14n][4+45n][5+59n][10+104n][5+54n][4+49n][10+103n][4+43n][3+37n][8+80n][8n][8+88n][9+96n][7+75n][6+62n][2+28n][9+90n][9n][9+99n]===[10+108n][9+98n][9+97n][8+86n][7+74n][5+51n][1+16n][6+67n][8+83n][4+41n][1+15n][5+56n][7+71n][1+18n][8+89n][10+107n][8+87n][8+85n][6+63n][3+39n][10+102n][3+32n][2+25n][5+57n][8+82n][3+30n][3n][3+33n][3+36n][6+69n][10+105n][6+65n][6+61n][1+17n][7+78n][9+95n][6+64n][5+50n][5n][5+55n][6+60n][6n][6+66n][7+72n][2+29n][10+101n][2+21n][1+13n][3+34n][4+47n][8+81n][1+19n][10+100n][1+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 10+109n.

Constatons que 10x11 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109